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72 CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS DE LA PARTÍCULA. MOVIMIENTOS RELATIVOS

El ángulo Dj que forman AB y AD (igual al que forman entre sí los radios de curvatura CP y
CP¢), es extraordinariamente pequeño por serlo Ds y por tanto podemos confundir la perpendicu-
lar BE con el arco de centro A y de radio AE =v (Fig. IV-8); en tal caso el valor de ED es la dife-
rencia numérica (modular) de la velocidad v +Dv =AD y la v =AB, es decir: el valor de la varia-
ción del módulo de la velocidad, tomado en la dirección de la tangente:

ED =Dvt (7)
En cuanto al valor BE, confundido con el arco que tiene A por centro y AB =v como radio, es
el arco que tiene que girar v para adquirir la dirección de v +Dv: el vector BE indica el cambio de
dirección de la velocidad. Su valor es: BE =v Dj; pero, considerando el ángulo central, el valor de
Dj es: Dj =Ds/r, que sustituido en el valor BE e indicando su dirección normal a la trayectoria
nos da:
v
BE = D s n (8)
r
Sustituyendo los valores (7) y (8) en la (6) y teniendo en cuenta la definición de vector acele-
ración:
a = lím D v =lím Dv t +lím v Ds n = límt Dv + v n lím Ds
Dt ® 0 Dt Dt ® 0 Dt ® Dt 0 r Dt ®Dt 0 Dt r ®Dt 0 Dt

en el límite Dv/Dt, es el valor de dv/dt y Ds/Dt toma el valor de la velocidad v, luego:

dv v 2
a = t + n (9)
dt r
Para expresar el vector aceleración a en función de las magnitudes angulares, tendremos en
cuenta que v =rw t Þ v = rw =rj . , y que tanto r como j en general, son funciones del tiem-
po, por tanto:
dv d . .. . . .
a = = ( rj =) rj + rj v =
t dt dt
En cuanto a la aceleración normal:
v 2 2 . 2 .
a = =j r = w r v =j
n
r
. . .. . .
luego: a =vtt +v j n =rj( +rj) t t + j r n
. 2
El movimiento circular es un caso particular del movimiento curvilíneo estudiado en esta cues- MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
.
.
..
tión. Sus ecuaciones se obtienen sin más que sustituir r por r, r =0 , j = w y j = a quedándonos:
v 2
2
v =w r a =a r a n r =w = v =w
t
r
Las componentes intrínsecas del vector aceleración, conocidas las ecuaciones vectoriales hora-
rias del movimiento, se pueden calcular teniendo en cuenta que el vector unitario tangente a la tra-
yectoria tiene la dirección del vector velocidad, entonces su valor será: t =v/v, y por ser el vector
aceleración tangencial la proyección sobre la tangente a la trayectoria del vector aceleración, ten-
dremos:

a =a ?t Þ a t = a ?t t( )
t
Se calculará, por último, el vector unitario normal, sin más que tener en cuenta que:

(a
)
a = a + a t Þ a = a - ?tt
n
n
de la que se podrán deducir los valores del vector unitario en la dirección de la normal a la trayec-
toria y dirigida hacia el centro de curvatura y el valor del radio de curvatura:
a a -( ?tt v 2 vv
)
a
?
n = n = r = =
) |
a
a n | a ´ | t a n | a -( ?t t
Podemos calcular la expresión de la ley horaria del movimiento conociendo el módulo de la
aceleración tangencial puesto que a =dv/dt Þ dv =a dt, e integrando desde un tiempo inicial t 0
t
t
hasta un instante cualquiera t: