Page 59 - Fisica General Burbano

PROBLEMAS 67

D) OSCILACIONES 78. Una partícula realiza un movimiento vibratorio armónico en el
eje OX, siendo su ecuación: x =2 cos (2t – p/3) escrita en el SI.1) Re-
65. Demostrar que un movimiento vibratorio armónico de trayec- presentar gráficamente el desplazamiento x, la velocidad v y la acelera-
toria recta, coincide con el movimiento de la proyección sobre un diá- ción a en función del tiempo t. 2) Representar gráficamente la velocidad
metro, de una partícula que gira uniformemente alrededor de una cir- y la aceleración en función del desplazamiento.
cunferencia*. 79. Determinar la ecuación del movimiento vibratorio armónico
66. Un punto material describe uniformemente una trayectoria cir-
cular de 1 m de radio, dando 30 rpm. Expresar la ecuación del movi- que resulta de estar sometida una partícula a las vibraciones:
=5 sen 2pt y x =5 sen (2pt +p/3) estando éstas escritas en el siste-
miento vibratorio armónico que resultaría al proyectar sobre un diáme- x 1 2
ma CGS. Construir el diagrama vectorial (Fresnel) de la composición de
tro las posiciones del punto material en los dos casos siguientes: 1) Se amplitudes.
comienza a contar el tiempo cuando la proyección del punto móvil es el
centro de la circunferencia y el movimiento va en el sentido de las agu- 80. Calcular la diferencia de fase que deben tener los movimientos
jas de un reloj. 2) En el caso de comenzar a contar el tiempo cuando el vibratorios armónicos del mismo período, dirección y amplitud, para
radio ha girado desde la posición anterior un ángulo de 57,328º. que el movimiento resultante tenga la misma amplitud que cualquiera
67. Un MAS viene dado por la ecuación x =A sen (wt +j) siendo de ellos. Representar gráficamente los movimientos componentes y el re-
las condiciones iniciales (para t =0) x =x 0 y v =v ; determinar las sultante.
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constantes A y j para una determinada pulsación w. 81. Determinar la amplitud y la ecuación general del movimiento
68. En la experiencia correspondiente a la figura el cilindro da una vibratorio armónico que resulta al estar sometido un punto material a las
vuelta en 2 s. Dada una vuelta, el dibujo que se ha realizado en el papel vibraciones x =3 sen (8pt +p/2)y x =4 sen 8pt, estando escritas en
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consta de 870 ondulaciones completas cuya máxima dimensión trans- el sistema CGS. Construir el diagrama vectorial de la composición de am-
versal es 3 mm. Determinar la frecuencia, el período y la ecuación de plitudes.
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movimiento —supuesto vibratorio armónico simple— de la punta entin- 82. Sometemos a una partícula a tres movimientos armónicos de la
tada, si entra en contacto con el cilindro cuando pasa por su posición de misma frecuencia y que tienen la misma dirección de vibración; siendo
equilibrio, en el sentido que se considerará de x crecientes. Calcular tam- 0,30, 0,35 y 0,45 mm las amplitudes de estos y la diferencia de fase en-
bién la elongación al cabo de 0,1 y 0,01 s de iniciado el movimiento. tre el primero y el segundo 25º, y entre el segundo y el tercero 35º; de-
69. La ecuación del movimiento de una partícula viene dada en el terminar la amplitud de la vibración resultante y su fase relativa al pri-
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SI por la expresión: x =10 cos (2pt +p/4). Calcular: 1) El período de mer componente.
la vibración. 2) Los valores extremales de la velocidad y aceleración de 83. Una partícula se encuentra sometida a dos MAS de la misma di-
la partícula. rección y frecuencia encontrándose en cuadratura y teniendo por ecua-
70. Un punto material oscila con movimiento vibratorio armónico ciones escritas en el sistema CGS: x (t) =4 sen (pt +5p/6)y x (t) =
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simple de amplitud 2 cm y frecuencia 10 Hz. Calcular su velocidad y =3 sen (pt +p/3). Componer analítica y gráficamente estos dos MAS y
aceleración extremas y la velocidad y aceleración en el tiempo representar su diagrama vectorial.
t =1/120 s. Suponer la fase inicial nula. 84. Una partícula está sometida a dos MAS que tienen la misma di-
71. La aceleración de un movimiento queda determinada por la rección y cuyas ecuaciones escritas en el CGS son: x =0,2 sen 5pt y
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expresión: a =–16p x, estando a medida en cm/s y x (distancia al ori- x =0,2 sen 10pt. 1) Hallar la ecuación del movimiento resultante y su
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gen) en cm. Sabiendo que el desplazamiento máximo es 4 cm y que se período. 2) Determinar el momento en el que la partícula se encuentra
ha comenzado a contar el tiempo cuando la aceleración adquiere su va- por primera vez en su máxima separación al origen (x =0) y, calcular
lor absoluto máximo, en los desplazamientos positivos, determinar: ésta. 3) Representar gráficamente y en función del tiempo los MAS com-
1) La ecuación del desplazamiento para cualquier instante. 2) La veloci- ponentes [x (t)y x (t)] y el movimiento resultante [x =x(t)].
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dad y aceleración extremas. 3) La velocidad y la aceleración cuando el 85. Una partícula participa simultáneamente de dos MAS de la mis-
desplazamiento es la mitad del máximo. ma dirección, cuyas ecuaciones escritas en el sistema CGS son:
72. Para un MAS de la partícula, su velocidad es 3 cm/s cuando su x =0,3 cos pt y x =0,3 cos 2pt. 1) Determinar la ecuación del movi-
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elongación es 2,4 cm y 2 cm/s cuando su elongación es 2,8 cm. Deter- miento resultante y su período. 2) Hallar el instante en que la partícula
minar la amplitud y su frecuencia angular. se encuentra por primera vez en su máxima separación al origen (x =0)
73. Las aceleraciones extremas de un MAS para una partícula son: y calcular ésta. 3) Momento en que toma en valor absoluto y por prime-
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±158 cm/s , la frecuencia de las vibraciones es 4 Hz y la elongación ra vez su máxima velocidad y calcular ésta. 4) Representar gráficamente
cuando t =0,125 ses x =0,125 cm y v <0. Escribir la ecuación del y en función del tiempo las ecuaciones de los MAS componentes y del
MAS de la partícula. movimiento resultante.
74. Una partícula que se mueve con un movimiento vibratorio 86. Una partícula está sometida a tres MAS de amplitudes
armónico simple, tiene un desplazamiento inicial x =1,5 cm, una velo- A =3 mm, A =1 mm y A =2 mm y cuyas frecuencias respectivas
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cidad inicial dirigida en el sentido positivo del eje X de v = son: n =20 Hz, n =60 Hz y n =100 Hz, si la diferencia de fase en-
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=3p 3 cm/s y su período es 1 s. Determinar las ecuaciones horarias tre ellos cuando t =0, es igual a cero: 1) Escribir las ecuaciones de las
del MAS. componentes de la vibración compleja y calcular su período. 2) Dibujar
75. Una partícula vibra con un MAS obedeciendo a la ecuación ho- la gráfica de estas componentes. 3) Dibujar la gráfica de la vibración
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raria dada en el SI: x(t) =10 cos (8pt +p/6). 1) Hacer la representa- compleja resultante y calcular su período.
ción gráfica x =x(t). 2) Determinar el tiempo que tarda la partícula en 87. La ecuación horaria del movimiento de una partícula escrita en
pasar por tercera vez por la posición de equilibrio. 3) Calcular el espacio el CGS es: x(t) =0,4 (1 +cos 20pt) sen 40pt. 1) Determinar las vibra-
recorrido por la partícula en ese tiempo. ciones armónicas que lo componen y represéntalas gráficamente en fun-
76. La gráfica de la figura nos representa la posición en función del ción del tiempo. 2) Calcular la frecuencia de este movimiento y re-
tiempo de una partícula que oscila en torno al origen. Determinar: preséntalo gráficamente en función del tiempo.
1) Sus ecuaciones horarias x =x(t), v =v(t)y a =a(t) y representar
las dos últimas. 2) El espacio recorrido por la partícula en el primero,
segundo y tercer segundo a partir de t =0.
77. Una partícula, suspendida de un muelle vertical, realiza un mo-
vimiento vibratorio armónico con una amplitud de 10 cm y una frecuen-
cia de 0,5 Hz. se empieza a contar tiempo en el instante en que la partí-
cula está 5 cm por encima de su posición de equilibrio y bajando.
1) Obtener su ecuación de movimiento. 2) ¿En qué instantes alcanza la
máxima elongación negativa? 3) ¿En qué instantes pasa por la posición
inicial?
* Ver movimiento circular y uniforme en el capítulo V. Problema III-76.