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MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS DE LA PARTÍCULA 71

En el caso de una circunferencia todos los puntos de ésta tienen el mismo radio de curvatura
que coincide con el radio de la circunferencia.
El círculo osculador pertenece al plano determinado por dos tangentes sucesivas a la curva, en
P y P¢por ejemplo, cuando ambos puntos tienden a confundirse. A este plano se le denomina PLA-
NO OSCULADOR. Pertenecen a este plano el vector velocidad y el vector aceleración del movimiento
de la partícula, aunque este movimiento sea tridimensional; ya que de la definición del vector ace-
leración instantánea se deduce que se trata de un vector situado en el plano determinado por
v(t +Dt)y v(t) en el límite cuando Dt tiende a cero, es decir, en el plano osculador.
Cinemáticamente llamaremos a los puntos C, C , C ... correspondientes a los centros de cur-
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vatura en el movimiento de una partícula a lo largo de la curva CENTROS INSTANTÁNEOS DE ROTACIÓN
y a los ejes perpendiculares en C, C , C ... al círculo osculador (o al plano osculador EJES INS-
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TANTÁNEOS DE ROTACIÓN.
IV – 4. Componentes tangenciales y normales de los vectores velocidad y
aceleración en el movimiento curvilíneo plano de la partícula
Otra forma de estudiar el movimiento curvilíneo plano de la partícula consiste en analizar las
componentes de la velocidad y aceleración instantánea de ésta, según la dirección tangencial y
normal a su trayectoria en la posición en que se encuentra, en un determinado instante. En este
análisis utilizamos, como vemos a continuación, las magnitudes angulares.
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
Los vectores unitarios t y n, definen las direcciones tangente y normal a la trayectoria en el Fig. IV-7.– Componentes intrínsecas
instante en que la partícula se encuentra en un punto P de ella (Fig. IV-7); estos vectores unitarios del vector aceleración.
tienen su módulo constantemente igual a la unidad, variando con el tiempo en dirección y sentido
y, por tanto son derivables respecto de él.
En la Fig. IV-8 la partícula pasa de P a P¢en el tiempo Dt, si hacemos tender Dt a 0, podremos
poner que ds =rdj referida al centro instantáneo de rotación, en la que r será el radio instantá-
neo de curvatura de la trayectoria en ese punto; teniendo en cuenta que el
vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria:

d
. ds rj .
rj
= t
v = v()t =st = t = t = t rw
dt dt
w es la velocidad angular instantánea de la partícula en su movimiento cir-
cular alrededor del centro instantáneo de rotación (centro de curvatura) y
t =v/v.
Descomponemos el vector aceleración a (que como ya se ha dicho no
tiene una dirección característica) en la dirección de la tangente a , a la
t
que llamamos ACELERACIÓN TANGENCIAL, y en la dirección de la normal a n
(dirección de r) que denominamos ACELERACIÓN NORMAL o CENTRÍPETA, cons-
tituyendo sus COMPONENTES INTRÍNSECAS.
Como se demostrará a continuación, los módulos de las aceleraciones
tangencial y normal son:
dv
a =
t dt dv v 2
Þ a = t + n
v 2 dt r
a = Fig. IV-8.– Componentes intrínsecas del vector aceleración.
n
r
El sentido físico de cada componente es el siguiente: la aceleración tangencial mide en cada
instante la rapidez del cambio del módulo de la velocidad; es nula en todos los movimientos uni-
formes (v =cte), tanto rectilíneos como circulares y curvilíneos en general. La aceleración normal
es la responsable de los cambios en la dirección del vector velocidad; es nula exclusivamente en
los movimientos rectilíneos, y distinta de cero en los curvilíneos, incluso si son uniformes.
La aceleración de una partícula en un punto es única, de forma que se puede establecer una
relación entre sus componentes cartesianas e intrínsecas, a través de su módulo:
2 2 2 2 2
a = a x + a y = a t a + n
Para demostrar las anteriores afirmaciones consideremos un móvil que en un tiempo Dt muy
pequeño, (Fig. IV-8) recorre un espacio sobre su trayectoria también muy pequeño: Ds =PP¢, pa-
sando de una velocidad v en P a otra v +Dv en P¢, referidas a O como origen. Para hallar Dv, di-
ferencia de las dos velocidades, trazamos en un punto cualquiera A, los vectores equipotentes a
v =AB y a v +Dv =AD. La diferencia Dv =BD se descompone en ED y BE, la primera en la di-
rección de la tangente y la segunda perpendicular a la anterior, es decir en la dirección de la nor-
mal a la curva en P (dirección del radio de curvatura), y sentido hacia el centro de curvatura de la
trayectoria; y podremos poner:
Dv =ED +BE (6)