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70 CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS DE LA PARTÍCULA. MOVIMIENTOS RELATIVOS
z t z t
w = w 0 + a dt j = j 0 + wdt
0 t 0 t
Hemos puesto j en vez de q para distinguir en análisis posteriores, la coordenada generalizada
q del ángulo descrito en trayectoria circular, pero téngase bien claro que este estudio es un caso
particular y ambas coinciden.
Dando a v y a carácter de vectorial axial (párrafo II-3) cuyos módulos son los valores expresa-
dos en (2), dirección la de una recta perpendicular al plano de la circunferencia trayectoria y de
sentido, para v el de avance de un sacacorchos que gira como el punto, y para a en la dirección
de v si esta aumenta con el tiempo (acelerado angular), y en sentido contrario si disminuye (dece-
lerado angular). En consecuencia:
dj . dw . ..
v = e =je a = e = we = je
dt dt
Fig. IV-4. Movimiento circular. Con- En las que e (Fig. IV-5) es el vector unitario perpendicular al plano en que se realiza el giro, tie-
venimos que un ángulo es positivo, ne la dirección del que llamaremos EJE DE ROTACIÓN e y sentido el que corresponde a este vector
cuando el desplazamiento angular es axial (el mismo que v).
como el de esta figura, es decir, an- De la Fig. IV-5 deducimos que el arco Ds recorrido por la partícula en el tiempo Dt toma el va-
tihorario. .
lor: Ds =rDj, dividiendo por Dt y pasando al límite cuando Dt ®= 0 nos quedará: s = ds dt =/
rd /j dt y teniendo en cuenta las definiciones de velocidad instantánea (v) y de velocidad an-
gular (w) obtenemos:
v =w r (3)
ecuación que no es vectorial pero que nos relaciona los módulos instantáneos de estas magni-
tudes.
La relación vectorial entre estas tres últimas magnitudes se deduce considerando que v es per-
pendicular a r, y v es perpendicular a r y v (Fig. IV-5); por tanto la expresión vectorial de (3) será:
v =v ´ r (4)
Si a la relación modular (3) la derivamos con respecto al tiempo obtenemos:
dv dr dw r (5)
dt =w dt + dt
el primer sumando del segundo miembro es nulo ya que la trayectoria es circular y por tanto r en
módulo es constante; y teniendo en cuenta las definiciones de aceleración instantánea (módulo del
Fig. IV-5. El vector velocidad y el vector aceleración) y aceleración angular, podemos escribir la fórmula (5) de la forma:
vector velocidad angular son perpen-
diculares.
a =a r MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
Si derivamos la (4) respecto del tiempo, y teniendo en cuenta que r no es constante en direc-
.
ción y sentido y por tanto tiene derivada temporal y su valor es v = r , obtenemos las relaciones
vectoriales:
. d v dw d r
r
a = v = = e ´ +v ´ a = r´ +v v ´
dt dt dt
.
en la derivada de ww =j e, el vector e no tiene derivada temporal por lo que no la hemos puesto.
Teniendo en cuenta (4), nos queda:
a =a ´ r +v ´v( r ´)
PROBLEMAS:15 al 18.
IV 3. Conceptos de: Círculo osculador, radio de curvatura,
centro de curvatura y plano osculador
Tomemos tres puntos muy próximos sobre una curva, P, P¢y P¢¢
(Fig. IV-6); de las circunferencias tangentes a la curva en P, la que tiene
en dicho punto un contacto tal que P¢y P¢¢pertenecen a ella cuando
éstos tienden a confundirse con P la llamamos CÍRCULO OSCULADOR*. Al
radio de este círculo lo llamamos RADIO DE CURVATURA y al centro CEN-
Fig. IV-6. Concepto de radio de curvatura. TRO DE CURVATURA.
* Recordar que para que una circunferencia esté definida por su ecuación analítica se necesitan tres puntos de ella, y a la in-
versa.
