Page 61 - Fisica General Burbano

CAPÍTULO IV

CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS

DE LA PARTÍCULA. MOVIMIENTOS RELATIVOS

A) MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS DE LA PARTÍCULA

IV – 1. Análisis del movimiento de la partícula en un plano en coordenadas
cartesianas y por su trayectoria y ley horaria
Para su estudio en coordenadas cartesianas, se considera que la partícula se encuen-
tra sometida a dos movimientos rectilíneos simultáneos en las direcciones de los ejes OX y
OY; resueltos estos, tal y como lo hemos estudiado en el capítulo anterior, obtenemos
..
.
y
x =x(t), v (t) = x . y a (t) = v . x =x para el eje OX e y(t), v (t) = y . y at() = v = .. para el
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
y
y
y
x
x
eje OY; las ecuaciones (8) del párrafo III-10, prescindiendo de la coordenada z =z(t), nos
resuelven el problema fundamental ya que nos proporcionan r =r(t), v =v(t) y a =a(t),
es decir:
r()t = i x + y j r d zz t 2 v() t dt
r 2
. . . r d =
v()t = r = i x y + j = r 1 t 1 (1)
dt
v 2
. .. .. .. d v zz t 2 a() t dt Fig. IV-1.– Representación gráfica de r ® = r t(),
®
d
a()t = v = r = i x y + j = v = ® ®
dt v 1 t 1 v = ()v t (con la condición de ser siempre tan-
®
gente a la trayectoria) y a ® = a t() .
En la Fig. IV-1, hemos representado los componentes de r(x, y), v(v , v ) con la con-
x
y
dición de ser siempre tangente en la trayectoria y a(a , a ).
y
x
De las ecuaciones (1) y concretamente la primera de ellas, elimi-
nando t de x =x(t) e y =y(t) obtenemos y =f(x), ecuación explícita
de la trayectoria y de ellas la ley horaria s =s(t) tal y como se hizo en
el párrafo III-4.
Para comprender mejor la magnitud vector aceleración se realiza
el siguiente estudio: en la Fig. IV-2a, hemos tomado las posiciones ar-
bitrarias de la partícula P , P , P ... sobre su trayectoria, cuyos vecto-
1
3
2
res de posición son r , r , r ...; las velocidades de estos son v , v , v 3
.
3
2
1
2
1
..., vectores tangentes a la trayectoria ya que v = . Si en un punto Q
r
arbitrario, trazamos los vectores equipolentes a v , v , v ... sus extre-
2
3
1
mos definirán una curva llamada HODÓGRAFA (Fig. IV-2b); por defini-
.
ción a = v, los vectores aceleración en cada punto de esta curva son
tangentes a ella. Obsérvese que la relación que guardan entre sí el
vector velocidad y el de posición respecto de la trayectoria es la mis-
ma que entre el vector aceleración con el vector velocidad y la
hodógrafa. En resumen: la ecuación de la hodógrafa se obtiene ha-
ciendo la sustitución X =v e Y =v y y eliminando t entre las ecua-
x
ciones paramétricas de las velocidades obteniéndose para un movi-
miento plano f(X, Y) =0 (Fig. IV-3). Fig. IV-2.– Hodógrafa.
La gran mayoría de los movimientos de partículas que se estudian en la Física aplicada son
movimientos rectilíneos o curvilíneos planos. El análisis tridimensional de los movimientos en co-
ordenadas cartesianas, es obvio que es el mismo que en el bidimensional añadiendo el estudio del
movimiento de la partícula en el eje OZ y aplicando las ecuaciones (8) del párrafo III-10.
PROBLEMAS:1 al 14.
IV – 2. Movimiento circular
«El movimiento circular de una partícula es aquel cuya trayectoria es una circunferencia».
Tomando el origen O CENTRO DE ROTACIÓN (Fig. IV-4) para el sistema de referencia cartesiano
(OXY) y la recta OX como la recta fija base para la definición de las magnitudes angulares (ver pá-
rrafo III-12), estas últimas serán:
. d j . .. d w
j = j()t w = w()t = j = a a =()t w= j= = wwd a j=d (2)
dt dt
La obtención de w y j a partir de a, se realiza por integración, resultando: Fig. IV-3.– Hodógrafa.