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MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS. MAGNITUDES ANGULARES 53

C. Dada a =a(t), en la tercera de las ecuaciones (9) puede integrarse directamente respecto
del tiempo obteniéndose v =v(t); x =x(t) se obtiene igual que en el caso B. Por realizarse dos in-
tegrales, se necesitan dos condiciones de contorno.
PROBLEMA: 20.
D. Velocidad dada en función de la posición: v =f(x); utilizaremos la segunda de las ecuacio-
.
nes (9): v = f x =() x , separando variables: dx/f(x) =dt, integrando obtenemos x =x(t), que
.
sustituida en la dada nos proporciona v =v(t) y la aceleración la obtenemos de a = a t =() v . Se
necesita una condición de contorno.
PROBLEMAS: 21 al 23.
E. Aceleración dada en función de la velocidad: a =f(v); utilizando la tercera de las ecuacio-
.
nes (9) se tiene: v = f v() , separando variables: dv/f(v) =dt, que integrada nos da: v =v(t); la
.
integración de x = v t() nos proporciona x =x(t). También puede utilizarse vdv =adx Þ
.
vdv =f(v)dx e integrando obtenemos x =j(v), en la que sustituyendo v = x , separando varia-
bles e integrando, se obtiene x =x(t).
PROBLEMAS: 24 y 25.
vt()
F. Aceleración dada en función de la posición: a =f(x); de vdv =adx obtenemos: vdv =
=f(x)dx, que integrada nos proporciona; v =f(x), entonces como se ha hecho en D, se obtiene
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x =x(t). A
PROBLEMAS: 26 y 27. t
O t l B t¢ t 2
Las REPRESENTACIONES GRÁFICAS de las relaciones entre las variables x, v, a y t en el movimiento
rectilíneo nos proporcionan en muchos problemas la suficiente información para su resolución.
.
.
Se observa en las Figs. III-10 a y b, que las fórmulas fundamentales v = x y a = v, nos ex-
presan que la velocidad es igual a la pendiente de la curva x =x(t) en un instante determinado y Fig. III-11.– Representación gráfica
que la aceleración en tal instante es igual a la pendiente de la curva v =v(t). de v para el caso en que la partícula
.
.
Las integrales definidas de v = x y de a = v son: en el intervalo de tiempo entre t y t¢,
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z t 2 z t 2
tiene velocidad negativa.
x - x = v dt v 2 v - 1 = a dt
2
1
t 1 t 1
la primera de estas fórmulas nos expresa que el área medida bajo la curva v =v(t) (Fig. III-10 b)
desde t a t nos proporciona el valor del desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo
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t a t ; la segunda expresa que el área bajo la curva a =a(t) (Fig. III-10 c) desde t a t nos mide la
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1
2
1
variación de velocidad durante el mismo intervalo. Estas propiedades pueden emplearse para de- xt()¢ xt() xt() xt() xt()
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2
terminar gráficamente la curva x =x(t) conocidas v =v(t)o a =a(t).
Si existen valores negativos de la velocidad en algún intervalo, la integral entre t y t de v(t)
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es la diferencia A – B (Fig. III-11) y nos da la posición de la partícula en el instante t respecto de Fig. III-12.– Para calcular el espacio
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la posición que ocupaba en t . total recorrido por la partícula.
z t 2
1
xt( ) = xt() + v t dt( ) = xt() + A B -
1
2
1
t 1
El área total A +B es el espacio total recorrido por la partícula, es decir:
z t¢ z t 2
s = A + B = v tdt() + v tdt()
t 1 t¢
siendo t¢tal que v(t¢) =0. La interpretación física de este caso es la siguiente (Fig. III-12): La par-
tícula recorre el intervalo [x (t ), x (t¢)] con velocidad negativa (retrocede) y el intervalo
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[x(t¢), x(t )] con velocidad positiva. El espacio total recorrido es: s =|x(t¢) – x(t )| +|x(t ) – x(t¢)|.
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2
2
En la gráfica a =a(x) (Fig. III-13 a), el área representada bajo la curva en el intervalo entre x 1
y x , está dada por la integral de vdv =adx. Es decir:
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zz x 2 Þ 1 ( v - v ) =Área limitada por la curva
v 2
2
2
a dx
vdv =
v 1 x 1 2 2 1
En la gráfica v =v(x) (Fig. III-13 b) podemos calcular la aceleración a de la partícula en el
punto P de su trayectoria. PB es la normal a la curva en P, y como los triángulos marcados son
semejantes, deducimos que AB es la aceleración a =v(dv/dx).
Las representaciones gráficas no solo son útiles para analizar las relaciones entre las magnitu-
des del movimiento en un problema, sino también para aproximar los resultados por derivación o Fig. III-13.– Representaciones gráficas
integración gráfica cuando desconocemos su función matemática explícita. de a =a(x)y v =v(x) para el movi-
PROBLEMAS:28 al 31. miento rectilíneo de una partícula.