Page 42 - Fisica General Burbano

50 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Describiendo el movimiento de una partícula mediante la ecuación analítica de su trayectoria y
su ley horaria, razonamos del siguiente modo: si en el instante t =0 (origen de tiempos) se en-
cuentra en un punto P de su trayectoria, transcurrido un tiempo, en un instante posterior t, su po-
0
sición es P y en el instante t +Dt es P¢(Fig. III-2); las posiciones de P y P¢referidas a P como ori-
0
gen quedan definidas por los arcos: P P =s y P P¢=s +Ds. Definimos velocidad media en el in-
0
0
tervalo Dt:
D s *
v =
t D
«VELOCIDAD MEDIA (magnitud escalar) de una partícula en su desplazamiento entre dos posi-
ciones, es el cociente de la distancia entre ambas medida sobre la trayectoria y el tiempo
empleado en el desplazamiento».
Si describimos el movimiento mediante la expresión del vector de posición en función del tiem-
po, definimos el VECTOR VELOCIDAD MEDIA como:
«El cociente del vector desplazamiento de la partícula entre el tiempo empleado en tal des-
plazamiento».

D r
v =
Dt
Como se aprecia en la Fig. III-2, Ds/Dt es distinto que |Dr/Dt| y sólo coinciden si la trayecto-
ria es una línea recta.
–1
Por ser la ecuación de dimensiones de la velocidad: [v] =[s]/[t] =LT , se medirá en el SI
en m/s.
PROBLEMAS:4 al 6.

III – 7. Vector velocidad instantánea
El valor de la velocidad media de una partícula entre dos posiciones de su tra-
P 1 yectoria nos da una información global del movimiento en el recorrido Ds, sin em-
P 2 bargo no nos permite saber con qué velocidad han sido recorridos los distintos tra-
P 3 mos en que podemos subdividir Ds; ni, en particular, con qué velocidad ha pasado la
partícula por uno de sus puntos.
Ds 2
P Ds 3 Ds 1 Midamos ahora las velocidades medias correspondientes a intervalos de tiempo
cada vez más pequeños Dt , Dt , Dt , etc. Los respectivos desplazamientos a partir de
2
3
1
P 0 P (Fig III-3) nos permiten definir la velocidad media en tramos cada vez más cortos.
t = 0 Si hacemos el paso al límite haciendo tender Dt a cero obtendremos la velocidad me-
s() t s D . dia en un tramo infinitesimal a partir de P, a la que llamaremos VELOCIDAD INSTANTÁ-
s = v = lím v < > =lím t D s = NEA en el punto P:
t® 0
t ® 0
D
D
Fig. III-3.– Velocidad instantánea. D s ds . MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
v = lím v = lím = s =
D t ® 0 D t® 0 t D dt
«La VELOCIDAD INSTANTÁNEA o VERDADERA (magnitud escalar) es el límite de la velocidad me-
dia cuando Dt tiende a cero», o bien: «la derivada de la posición (espacio) respecto del
tiempo».
Razonando de forma análoga que con el vector velocidad media, definimos VECTOR VELOCIDAD
INSTANTÁNEA como:
v = lím D r = r d r = .
Dt ® 0 Dt dt

«VECTOR VELOCIDAD en un punto de la trayectoria del móvil referido a O como origen (velo-
cidad definida por un observador colocado en O) es: la derivada del vector de posición de
la partícula en el instante considerado, con respecto al tiempo».

La expresión anterior puede ponerse de la forma siguiente:

Fig. III-4.– Al considerar en un movi- v = lím D r = lím D r Ds =lím D r lím Ds
s
miento tiempos cada vez menores, la Dt ® 0 Dt Dt ® 0 D Dt Dt ® 0 Ds ® Dt 0 Dt
medida del espacio a partir de un En este producto, el primer factor es el límite del cociente entre el vector desplazamiento y el
punto P (arcos PP , PP , PP ) se arco de trayectoria que le corresponde, que cuando Dt tiende a cero se confunden (Fig. III-4); y,
2
3
1
aproximan más a la longitud de los
vectores desplazamiento (Dr , Dr ,
1
2
Dr ) y haciendo tender el tiempo a * En esta fórmula hemos empleado la notación , para designar la media o magnitud promedio de la velocidad; la nota-
v
3
cero el cociente Ds/Dr tiende a uno. ción <v>es equivalente queriendo expresar lo mismo. En este libro se emplean ambas notaciones.