Page 38 - Fisica General Burbano
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46 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA
28. Dados dos vectores a (2, 1, 0), b (3, 2, 1)y c (0, 2, 1). 43. Dado el sistema de vectores deslizantes: v (1, 2, 0) que pasa
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Calcular: 1) (a +b) · c.2) (a b) ´c.3) (a ´b) · c (producto mix- por el punto P (1, 1, 1), v (1, 1, 1) que pasa por el punto
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to) =abc.4) (a · b) c.5) (a ´b) ´c (doble producto vectorial). P (2, 2, 2), v (0, 1, 1) que pasa por el punto P (0, 1, 2), v (2, 2, 2)
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29. Dados dos vectores a (1, 0, 1), b (1, 3, 0), c (2, 1, 1)y que pasa por el punto P (1, 0, 1), calcular el torsor del sistema.
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d (0, 2, 1). Calcular: 1) (a · b)(c · d). 2) (a ´b) · (c ´ d). 44. Sobre tres aristas de un cubo de lado a se consideran los tres
3) (a · b)(c ´d). 4) (a ´b) ´(c ´d). vectores de la figura. Calcular: 1) La resultante general. 2) El momento
del sistema respecto al origen. 3) La ecuación del eje central.
30. Demuéstrese que si a +b +c =0, se verifica que a ´b =
=b ´c =c ´a. 45. Dos sistemas de vectores tienen resultantes generales R =10i
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31. Demostrar la identidad de Lagrange: (a ´b) +(a · b) =a b , y R =6i +8j; los respectivos momentos mínimos tienen por módulos
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siendo: (a ´b) =(a ´b) · (a ´b)y (a · b) =(a · b)(a · b). 15 y 25. Calcular: 1) El eje central del sistema total. 2) El momento mí-
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nimo resultante.
32. Demostrar que el producto vectorial de cuatro vectores verifi- 46. Dados los vectores deslizantes v (a, 1, 0), v (1, 1, 1)y
ca: (a ´b) ´(c ´d) =(abd) c (abc) d. 1 2
v (0, 1, 2), cuyas rectas soporte pasan, respectivamente, por los pun-
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tos P (1, 2, 1), P (1, 1, 2)y P (1, 1, 1); calcular el valor de a tal que
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B) TEORÍA DE MOMENTOS el sistema se reduzca solamente a su resultante, y encontrar la ecuación
del eje central.
33. El origen de un vector es el punto A (3, 1, 2) y su extremo 47. Se tiene un sistema de tres vectores paralelos, v (2, 1, 1),
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B (1, 2, 1); calcular su momento respecto a C (1, 1, 2). v (8, 4, 4)y v (4, 2, 2), aplicados en los puntos P (0, 1, 2),
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34. Dados los vectores v (2, 3, 1)y v (1, 3, 2) ambos aplica- P (1, 1, 0)y P (2, 2, 0), respectivamente. 1) Hallar su centro.
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dos en el punto P (2, 3, 2), calcular el momento del sistema respecto 2) Obtener la ecuación del eje central del sistema.
del punto A (1, 0, 2) y compruébese que la suma de los dos momen-
tos es igual al momento de la resultante respecto de A aplicada en P. C) CÁLCULO INFINITESIMAL VECTORIAL
35. Hallar el valor de la expresión: a ´N C siendo: a (2, 1, 2), 48. Demostrar aplicando el concepto de límite de un vector las fór-
b (1, 2, 1)y N C el momento del vector b aplicando en el punto mulas: d(a · b)/dt =a · db/dt +db/dt · b, d(a ´b)/dt =a ´db/dt +
B (2, 3, 1) con respecto al punto C (1, 1, 1). +da/dt ´b.
36. Las coordenadas del origen de cierto vector son proporcionales 49. Dado el vector: a =A (cos wt i +sen wt j) donde A y w son
a 1, 5 y a, y sus componentes lo son a 1, a y b. Además, sus momentos constantes y t es la variable escalar independiente, se pide: 1) Hallar su
respecto de los ejes de coordenadas, son proporcionales a 1, 2 y 3. Cal- módulo y la derivada de éste. 2) da/dt y|da/dt|. 3) Demostrar que
cular los valores de a y b. a y da/dt son perpendiculares.
37. Dado el vector v (3, 6, 8) cuyo origen es el punto 50. Si v es un vector función de un parámetro t demostrar que:
P (2, 1, 2); calcular su momento respecto al eje: (x 2)/2 =(y 5)/3 = 1) Si v es constante en dirección, entonces v ´dv/dt =0.2) Si v es
=(z 3)/6. constante en módulo, entonces v · dv/dt =0.
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38. Calcular el momento del vector v (1, 3, 2) de origen 51. Dados los vectores: a (2t, sen t, 0), b (0, 2 cos t, t ). Calcular:
P (1, 1, 0) respecto al eje que pasa por los puntos A (1, 0, 1), y 1) d (a +b)/dt.2) d (a · b)/dt.3) d (a ´b)/dt.4) d |a ´b|/dt.
B (2, 1, 1). 5) d(da/dt · b)/dt.6) d[(a ´b)/(a · b)]/dt.
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39. De un sistema de vectores sabemos que su resultante es 52. Dados los vectores: a (t , t, 1), y b (1, t, t +1). Calcular:
R =2i +j +3k y que el momento respecto del origen tiene por módu- 1) ò (a +b) dt.2) ò (a · b) dt.3) ò (a ´b) dt.
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lo 26 y es paralelo al vector d =2i +j k. Al añadir un nuevo vec- 53. Dado el escalar (función de punto): a =x yz +3x z y; calcu-
tor v, el sistema se reduce a su resultante que tiene como recta soporte el lar la integral de línea: ò adr,(dr =dx i +dy j +dz k), a lo largo de
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eje OZ. Obtener las componentes de v y su recta soporte. la curva y =x , z =2, cuando se pasa desde el punto A (1, 1, 2)al
40. El punto de aplicación del vector v (6, 3, 4)es P (3, 6, 2) B (2, 4, 2).
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referidos a un sistema OXYZ. Calcúlese: 1) Momento del vector respec- 54. Dado el vector (Vector campo): v =(x +y) i +xyj; calcular la
to al origen O. 2) Momento del vector respecto al punto O¢(2, 3, 1). integral (circulación): ò v · dr,(dr =dx i +dy j), a lo largo de la rec-
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41. Dados los vectores deslizantes: v (3, 2, 3)y v (6, 3, 2) ta y =x +1 desde el punto A (0, 1)al B (1, 2). 2 MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
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que pasan por los puntos P (2, 6, 4)y P (4, 1, 1), respectiva- 55. Dado el vector: v =(x z) i +xj +(y z) k; calcular la inte-
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mente, calcúlese: 1) La resultante del sistema de los dos vectores. 2) El gral de línea: ò v ´dr,(dr =dx i +dy j +dz k), a lo largo de la cur-
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momento resultante con respecto al origen. 3) El momento resultante va x =y , z =0, cuando se pasa desde el punto A (1, 1, 0)al
referido al punto O¢(2, 1, 5). B (4, 2, 0).
42. Dado el sisitema de vectores: v (3, 6, 2) de origen
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P (1, 3, 2), v (2, 4, 6) de origen P (3, 2, 1), v (1, 1, 1)de D) COORDENADAS POLARES
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origen P (1, 3, 0), encontrar la ecuación el eje central y el momento 56. Una recta dista del origen de coordenadas una longitud r, y
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mínimo. forma con el semieje OX positivo un ángulo a. Tomando el origen como
polo y el eje OX como eje polar, obtener la ecuación de la recta en coor-
denadas polares.
57. Dos puntos están definidos por sus coordenadas polares
(r , j )y (r , j ). Obtener la expresión de la distancia entre ambos.
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58. Obtener la ecuación en polares de una elipse, considerando un
foco como polo y el eje mayor como eje polar.
59. Obtener la ecuación de una parábola en coordenadas pola-
res, considerando el foco como polo y el eje polar perpendicular a la
directriz.
60. Cambiar a cartesianas o polares, según corresponda, las expre-
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siones de las curvas siguientes: 1) (x +y ) =4 (x y ). 2) r =
Problema II-44. =sen j/(1 +tg j).
