Page 34 - Fisica General Burbano

42 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

«El momento de un sistema de vectores de momento mínimo cero, es igual al momento de
la resultante R respecto de un punto cualquiera que no pertenezca al eje central» (puesto
que si pertenece éste es nulo).

4.ª Si el sistema de cursores es concurrente (todas las rectas que contienen a los vectores des-
lizantes pasan por un punto) el momento del sistema respecto del punto de concurrencia es nulo,
con lo que este punto pertenece al eje central; luego «El momento respecto de otro punto cual-
quiera será el del vector resultante R, cuando se supone situado en la recta de su dirección que
pasa por el punto de concurrencia».
5.ª Si en el sistema de vectores deslizantes, éstos son coplanarios N · R =0, puesto que R se
encuentra en el plano que contiene a los vectores y N será siempre perpendicular a este plano; si
éste es de ecuación z =0 (plano XY) el eje central es una recta contenida en el plano del sistema
de vectores y su ecuación será:

N + R y - R x =0 Þ R x - R y = N
y
x
y
z
x
en este caso: «El Torsor se reduce a la resultante R».
II – 28. Sistema de vectores ligados y paralelos
Supongamos n vectores ligados v , v , ... v , todos ellos paralelos y cuyos puntos de aplicación
1
n
2
vienen definidos por r (x ,y ,z ), r (x ,y ,z ), ..., r (x ,y ,z ). Si R es la resultante de todos
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1
2
1
1
2
2
n
n
n
n
2
ellos y N el momento resultante, éstos serán siempre perpendiculares, y su Torsor se reducirá a R.
Su llamamos u al vector unitario que tiene la dirección de los vectores, tendremos: v =v u,
i
i
siendo v un número real cuyo valor absoluto es igual al módulo del vector v, con signo positivo o
i
i
negativo, según que el sentido del vector v sea el mismo o el contrario al del vector unitario u.
i
Obsérvese que en estas condiciones el módulo del vector resultante será: R =åv . i
Si consideramos al sistema de vectores paralelos al eje OZ entonces:
R = R =0 N =0
x
y
R = R z
z
y las ecuaciones del eje central serán:
N y å vy N å vx
x =- = ii y = x = i i
R z R R z R
en estas expresiones v representa el módulo del vector v con su signo.
i
i
En general tendremos: «Cualquiera que sea la dirección del sistema de vectores ligados y para-
lelos el eje central pasará siempre por el punto de coordenadas: MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
å vx i å vy å vz
i i
i
i i
x = h = z =
R R R
que se llama CENTRO DEL SISTEMA de vectores paralelos y ligados».
PROBLEMA:47.
D) CÁLCULO INFINITESIMAL VECTORIAL*
II – 29. Concepto de límite de un vector
Supongamos que un vector v es función de un parámetro t y escribiremos: v =v(t), y como
todo vector, viene dado por sus componentes coordenadas: v =v (t), v =v (t), v =v (t).
y
x
y
z
z
x
Diremos que la función v(t) tiene por límite l, cuando t tiende a t , si cualquiera que sea e,
0
existe otro número n tal que para todo valor t contenido en el intervalo (t +n, t – n) se verifica:
|v(t) – l|<e; y escribiremos:
t =l
lím v()
t ® t 0
DEFINICIONES:
1) Diremos que v(t) es una función continua para t =t si: lím v() t 0
t =v( )
0
2) «Un vector es infinitesimal si lo es su módulo». t ® t 0
* Los conceptos de circulación, gradiente, divergencia, laplaciana y rotacional se verán en el capítulo VII.