Page 30 - Fisica General Burbano

38 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

,
x
v (, y z 1 ) v ? v 3 = xx 3
1
1
1
1
1
v (x 2 , y 2 , 0) Þ v ? v 2 = xx 2 + y y (14)
2
1 2
1
1
v (x 3 , 00) v ´ v 3 = - 2 3 k
,
yx
2
3
que junto con que:
i j k i j k
v ´( v 2 ´ v ) v = 1 ´x 2 y 2 0 =x 1 y 1 z 1 =-yy x 3 i +x y x 3 j
12
1
3
1 2
x 3 0 0 0 0 -yx 3
2
Sumando y restando x x x i y agrupando términos obtenemos:
1 2 3
v ´(v ´v ) =(x i +y j) x x – x i (x x +y y )
3
2
1 2
1 2
3
1
2
2
1 2
y teniendo en cuenta (14), nos quedará: v ´(v ´v ) =(v · v ) v – (v · v ) v 3 c.q.d.
1
2
2
1
3
2
1
3
PROBLEMAS:19 al 32.
C) TEORÍA DE MOMENTOS
Hasta ahora nos hemos referido a operaciones con vectores libres, en teoría de momentos
operaremos también con VECTORES DESLIZANTES O CURSORES.
II – 18. Momento de un vector con respecto a un punto
Sea un vector v de origen P (Fig. II-29).
«Se llama MOMENTO DE UN VECTOR v CON RESPECTO A UN PUNTO O, a un producto vector, cuyo
primer factor es la distancia r entre el punto O y el origen P del vector y el segundo el pro-
pio vector».
v
N = r ´ v = OP ´
Fig. II-29.– Momento de un vector
®
respecto de un punto. r ® , v y d Según esta definición, N es un vector perpendicular al plano determinado por el vector y el
®
están en el plano p. N es perpendicu- punto, cuyo sentido (hacia arriba en el caso del dibujo) coincide con el avance de un sacacorchos
lar a p.
que apoya su punta en O y, colocado perpendicularmente al plano formado por el vector y el pun-
to, gira en el sentido que indica el vector v alrededor del punto. El módulo del momento es:
N =vr sen j =vd
ya que r sen j =d, siendo d la menor distancia del punto a la dirección del vector.
Si el vector v es deslizante y en vez de suponerlo aplicado en P, lo suponemos aplicado en P¢,
el momento de v con respecto a O será:
N ¢ = ¢ ´v =OP ¢ ´v
r
N
P P
r
P P
P
r
De la Fig. II-30: r = ¢ + ¢ P Þ N = r( ¢ + ¢ ´v) = ¢ ´v + ¢ ´v = ¢ MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
ya que el producto vector P¢P ´v =0 por tener ambos vectores la misma dirección, lo que de-
muestra que:
«El momento de un vector con respecto a un punto no varía aunque el origen del vector se
desplace a lo largo de su dirección».
Fig. II-30.– El momento de un vector
con respecto a un punto no varía II – 19. Momento de un sistema de vectores concurrentes (Teorema de Varignon)
aunque el origen del vector se des-
place a lo largo de su dirección. Si un vector es suma de otros varios concurrentes, su momento con respecto a un punto es
la suma de los momentos de los sumandos, con respecto al mismo punto.
n
En efecto; si: v = v + v 2 +... v + n = v å i
1
i =1
y es P el punto de concurrencia y llamamos r al vector de posición de éste respecto del punto que
vamos a tomar como origen de momentos (O en la Fig. II-31) tendremos:
N =r ´v =r ´(v +v +... +v ) =r ´v +r ´v +... +r ´v n
1
2
2
n
1
n
entonces: N = N 1 + N 2 +... + N n = N å i
i =1
CONSECUENCIA:
«Si el centro de momentos se toma sobre el “vector suma” o en un punto cualquiera de su
Fig. II-31.– Teorema de Pierre Varig- recta soporte, al ser nula la distancia del punto a dicha recta, la suma de los momentos de
non (1654-1722). los vectores componentes es igual a cero».