Page 26 - Fisica General Burbano

34 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

II – 8. Descomposición de un vector en dos o más direcciones
a) DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN DOS DIRECCIONES. Basta trazar por el extremo del vector v
paralelas a las direcciones 1 y 2, hasta obtener el paralelogramo del cual v es diagonal. Los lados
de aquél concurrentes con v son los vectores componentes (Fig. II-20). v =v +v . La solución es
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única.
b) DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN TRES DIRECCIONES CONCURRENTES COPLANARIAS CON EL VEC-
TOR. Se traza por el punto de concurrencia una dirección auxiliar cualquiera (Fig. II-21) y se des-
compone v en una de las direcciones dadas –3– y la auxiliar, la componente según ésta, se des-
compone a su vez en –1– y –2–; v , v y v serán las componentes pedidas: v =v +v +v . La
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Fig. II-20.– Descomposición de un descomposición se puede hacer de infinitas formas según la dirección auxiliar elegida. 2 3
vector en dos direcciones.
c) DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN TRES DIRECCIONES NO COPLANARIAS CON ÉL: Por el extremo
del vector que queremos descomponer (v) se traza una paralela a una de las direcciones (en la Fig.
II-22 a la dirección 3) hasta que encuentre en un punto (A) al plano determinado por las otras dos
(1, 2), quedando así determinado el vector OA que descompuesto en las direcciones –1– y –2–
nos resuelve el problema: v =v +v +v . La solución es única.
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II – 9. Producto de un vector por un escalar
«El producto de un vector, v, por un escalar, n, es otro vector de las siguientes característi-
cas: dirección la misma de v, sentido, el de v si n es positivo y el contrario si es negativo, y
el módulo igual al producto del de v por el valor absoluto de n».
Esta definición es evidente una vez definida la suma, puesto que si n es un escalar (un núme-
ro), si multiplicamos por v, con el producto nv queremos decir que hay que sumar n vectores
iguales a v y esta suma resulta ser un vector de módulo nv con la misma dirección y sentido que
v (Fig. II-23).
Consecuencia de esta operación así definida, son las tres propiedades siguientes:
a) «Si dos vectores a y b tienen la misma dirección, existe un número a que cumple»:
a =ab
Fig. II-21.– Descomposición de un En efecto: el valor de este número será a =a/b y el signo será +o – según que el sentido sea
vector en tres direcciones coplana- el mismo o el contrario.
rias.
b) «Un vector v puede expresarse siempre como combinación lineal de otros dos a y b copla-
narios con él»:
v =av +bb (4)
En efecto: si descomponemos v en las dos direcciones de a y b y las componentes resultantes
son v y v , tendremos:
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v =v +v 2 (5) MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
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por la primera propiedad existirán dos números a y b tales que: a =v /a, b =v /b y que
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v =aa, v =bb, que sustituidos en (5) da (4).
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c) «Un vector v en el espacio, puede expresarse mediante una combinación de tres a, b y c no
coplanarios con él».
v =av +bb +gc (6)
En efecto: el vector v lo podemos descomponer en las tres direcciones de a, b y c, si las com-
ponentes son v , v y v tendremos:
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v =v +v +v (7)
Fig. II-22.– Descomposición de un 1 2 3
vector en tres direcciones no copla- y por la primera propiedad existen a, b y g tales que: a =v /a, b =v /b, g =v /c tales que
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narias. v =aa, v =bb, v =gc que sustituidos en (7) da (6).
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II – 10. Vectores unitarios
Llamamos VECTOR UNITARIO (o VERSOR) a todo vector de módulo unidad.
Según las propiedades de la cuestión anterior si u es un vector unitario y v un vector que tiene
la misma dirección y sentido podremos escribir:
v
v =v u Û u =
v
Para que la medida de una magnitud adquiera carácter vectorial, basta multiplicarla por el vec-
Fig. II-23.– Multiplicación del vector tor unidad en la dirección y sentido adecuados; es decir por un vector cualquiera en tal dirección y
® por los escales 3 y –3. sentido, elevado a un exponente igual a cero.
v