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VECTORES Y ESCALARES. SISTEMAS DE REFERENCIA CARTESIANOS 31
admitir como positivo el correspondiente al movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj,
de acuerdo con lo que normalmente se hace en los textos de Física; pero no es necesario que éste
sea siempre el convenio elegido y por ello las definiciones de operaciones vectoriales y las fórmu-
las para su cálculo se establecerán independientemente del sentido de rotación elegido.
La extensión a la representación de puntos en el espacio tridimensional es inmediata: escoge-
mos primero un origen O, por él pasamos tres planos perpendiculares entre sí, las rectas de inter-
sección de estos planos son también ortogonales entre sí y se les llama EJES DE COORDENADAS X, Y,
Z. Para asociar al punto P tres números hacemos pasar por P tres planos ortogonales entre sí que
sean a su vez normales a los planos de referencia, interceptarán a los ejes X, Y, Z en los puntos M,
N y R a los que corresponden tres números reales x, y, z.
La terna ordenada de números (x, y, z) son las coordenadas de P en el espacio, y la corres- Fig. II-6. Localización de un punto
pondencia biunívoca de ternas ordenadas de números con el conjunto de puntos del espa- en un sistema cartesiano tridimensio-
cio XYZ es el SISTEMA DE COORDENADAS DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL constituido por los pun- nal. Triedro positivo.
tos del espacio.
Al triedro que aparece en la Fig. II-6 se le llama TRIEDRO TRIRRECTÁNGULO POSITIVO o DEXTRÓGI-
RO; convenimos en que un triedro cualquiera será positivo cuando podamos llevarlo a coincidir
con el de la figura mediante movimientos rígidos. Otro convenio más general para caracterizar los
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triedros positivos es: si hacemos girar a la parte positiva del eje X en el plano XY, alrededor del eje
Z, hasta hacerlo coincidir con la parte positiva del eje Y a través del menor ángulo entre X e Y, ese
movimiento produce al eje Z una rotación tal que un sacacorchos colocado en él, avance en la di-
rección positiva del eje Z; tales sistemas positivos son los que por convenio consideraremos en este
libro; pero ya sabemos que no es necesario que sea siempre ésta la forma de proceder.
La razón por la que tenemos que abandonar el convenio de las agujas del reloj establecido en
el plano es que al observar un giro en un plano desde el espacio, el observador puede encontrarse Fig. II-7. Triedro negativo.
en dos semiespacios diferentes, determinados por el plano en que gire la partícula, y observadores
en los semiespacios A y B no podrán ponerse de acuerdo sobre cual es el sentido positivo o nega-
tivo con el criterio del reloj y si se pondrán de acuerdo con los sentidos de giro establecidos en el
párrafo anterior (Fig. II-8).
II 5. Componentes coordenadas de un vector
En el espacio tridimensional hemos definido un punto por tres coordenadas (x, y, z). Defini-
mos lo mismo mediante un vector r =r(x, y, z) llamado VECTOR DE POSICIÓN, a la terna ordenada
de números (x, y, z) los llamamos COMPONENTES COORDENADAS del vector y le asociamos un único
símbolo matemático r (Fig. II-9).
Si utilizamos un sistema de coordenadas diferente, los tres números cambian a (x¢, y¢, z¢), sin Fig. II-8. Semiespacios determina-
embargo, el vector r es el mismo en ambos sistemas. Lo que queremos decir es que la definición dos por un plano.
de vector permanece invariante o independiente del sistema de coordenadas elegido.
Tomando el sistema X, Y, Z, y dándole carácter vectorial a x, y, z (proyecciones ortogonales de
r sobre los ejes), indicaremos r de la forma:
r = x + y + z
El sentido físico de esta igualdad es: suponiendo que r fuera un efecto (una fuerza por ejem-
plo), no se afirma que r es la suma numérica de sus componentes, sino que el efecto físico que
produce r es el mismo que el efecto de x, y, y z actuando simultáneamente. Las componentes tie-
nen por valor: Fig. II-9. Componentes coordena-
das de un vector.
r
r
r
x = cos a y = cos b z = cos g (1)
a,b y g son los ángulos que forma r con cada uno de los ejes. A sus cosenos se les llama COSENOS
DIRECTORES. El módulo de r (diagonal del paralelepípedo construido con x, y, z como lados) es:
r = x 2 + y 2 z + 2
Si elevamos al cuadrado las igualdades (1) y sumamos, obtendremos:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x + y + z r = (cos a +cos b +cos g ) Þ cos a +cos b + cos g 1=
Si el vector viene dado por las coordenadas de su origen A(x, y, z) y de su extremo
B(x¢, y¢, z¢), entonces las componentes coordenadas del vector AB (Fig. II-10) serán: (x¢ x, Fig. II-10. Componentes coordena-
y¢ y, z¢ z). das de un vector.
