Page 21 - Fisica General Burbano

CAPÍTULO II

CÁLCULO VECTORIAL.

SISTEMAS DE REFERENCIA

A) VECTORES Y ESCALARES. SISTEMAS DE REFERENCIA CARTESIANOS

En este capítulo se estudian unos entes matemáticos que llamamos vectores, para cuyo mane-
jo establecemos toda una álgebra vectorial. Para entender esta álgebra, conviene abstraerse de
todo paralelismo con respecto a las operaciones que desde pequeños realizamos con números (es-
calares) y considerar al vector como una entidad matemática diferente.
La razón fundamental del empleo en el lenguaje físico del cálculo vectorial, es que los fenóme-
nos físicos generalmente ocurren en el espacio tridimensional y, de no existir este cálculo, tendría-
mos que escribir tres ecuaciones (una por cada dimensión) cada vez que manejáramos una magni-
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tud vectorial; el empleo del cálculo vectorial nos reduce estas tres ecuaciones a una sola, dando a
nuestro lenguaje más fluidez y simplicidad. Es decir: cada vez que escribamos una ecuación vecto-
rial, tendremos siempre presente que nos representa tres ecuaciones.

II – 1. Magnitudes escalares y vectoriales
«Una magnitud física es ESCALAR cuando queda determinada por un número real que ex-
presa su medida».
Su álgebra operacional es la de los números. Son ejemplo de estas magnitudes: el tiempo, la
masa, la temperatura, la presión, la energía, ...
«Una magnitud es VECTORIAL cuando en su determinación necesitamos, además de su medi-
da (módulo), una dirección y un sentido».
Aclaremos el significado de estos dos últimos conceptos: convenimos en que un haz de rectas
paralelas definen una misma dirección, aún podemos sobre una de ellas movernos en dos sentidos
distintos; asociando a ellos un signo, positivo o negativo; decimos entonces que la recta está orien-
tada, indicando con una flecha el sentido que acordemos sea positivo (los ejes de coordenadas
cartesianas son rectas orientadas). En resumen: una recta orientada nos define una dirección y dos
sentidos.
Como ejemplo de una magnitud vectorial, supongamos que un punto se mueve desde la posi-
ción O a la O¢siguiendo uno cualquiera de los caminos que indicamos en la Fig. II-1. Prescindien-
do de la distancia escalar s que nos mide la distancia de O a O¢por cada trayectoria particular, la
variación de la posición del punto desde O a O¢es una magnitud vectorial, llamada DESPLAZAMIEN-
TO, que se representa mediante el vector d, que no es más que el segmento OO¢orientado de O
hacia O¢. Obsérvese que la distancia recorrida por el punto varía según el camino recorrido, sin
embargo, en todos los casos su desplazamiento es el mismo.
Existe otro tipo de magnitudes para las que el carácter escalar o vectorial es insuficiente, y hay
que definirlas con un mayor número de condiciones (nueve en un espacio tridimensional). A éstas Fig. II-1.– Representación de un vec-
se les llama «MAGNITUDES TENSORIALES». Su nombre proviene de su primera aplicación que apareció tor.
en el estudio de las «tensiones» producidas por fuerzas en medios continuos.
Por ejemplo: en un medio elástico e isótropo (sus características no dependen de la dirección),
la relación entre la fuerza aplicada, F, y la deformación producida, x, es lineal, F =Kx donde K
es un escalar; lo que significa que F y x son dos vectores paralelos, como veremos en este capítu-
lo. Sin embargo si el medio es anisótropo F y x serán de distinta dirección, y para relacionarlos ya
no basta con una K escalar, sino que ahora debe ser un tensor que cambie el módulo y la direc-
ción de x. El álgebra de los tensores no será tratada en este libro.

II – 2. Representación de un vector
Los vectores se representan gráficamente por segmentos acabados en una punta de flecha.
Queda determinado su módulo por la longitud del segmento, su dirección por la de la recta
a que pertenece y su sentido por la punta de la flecha. Al origen del vector se le llama PUN-
TO DE APLICACIÓN.
Emplearemos como notación para un vector, la adoptada por la Unión Internacional de Física
Pura y Aplicada (U.I.F.P.A.), representando estas magnitudes vectoriales por letras negritas: d, y la
representación de su módulo por la correspondiente letra cursiva d o bien por |d|. Cuando defi-
namos el vector por su origen (O) y extremo (O¢) convendremos en representarlo así: OO¢o tam-