Page 25 - Fisica General Burbano
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ÁLGEBRA VECTORIAL 33
y el módulo de s es la suma de los módulos. Único caso en que la suma vectorial coincide con la
suma de los módulos.
2. En el caso de que los vectores tengan la misma dirección y sentido contrario (Fig. II-15b) el
ángulo j es 180º y su coseno es 1:
s = v 1 2 + v 2 2 -2 v v = v ( 1 v - ) 2 v= 1 v-
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y el módulo de s es la diferencia de los módulos.
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3. Si los vectores son perpendiculares, j =90º, entonces: s = v 1 2 + v 2 2 , o bien; s =
=v 1 2 +v 2 2 y el cuadrado del módulo del vector suma es la suma de los cuadrados de los módulos
de los sumandos. Fig. II-15. Casos particulares de
Para obtener la dirección de s, bastará con determinar el valor de a en la Fig. II-14, en la que suma de vectores.
se tiene:
CB = s sen a = v sen j s v 2 v 1 (3)
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AD = v sen a = v sen b Þ sen j = sen a = sen b
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MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
Las fórmulas (2) y (3) son dos ecuaciones fundamentales de la trigonometría: los teoremas del
coseno y del seno.
II 7. Propiedades de la suma de vectores
A partir de consideraciones geométricas sencillas se deducen las siguientes propiedades: Fig. II-16. La suma de vectores goza
de la propiedad conmutativa.
a) Es conmutativa: v +v =v +v . En efecto: en la Fig. II-16, v +v =AB +BD =AD,y
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v +v =AC +CD =AD, luego es conmutativa; y s coincide con la diagonal del paralelogramo
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construido con v y v como lados.
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b) Es asociativa: (v +v ) +v =v +(v +v ). En efecto (Fig. II-17):
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(v +v ) +v =(AB +BC) +CD =AC +CD =AD
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v +(v +v ) =AB +(BC +CD) =AB +BD =AD c.q.d.
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Esta propiedad permite definir la regla del polígono para la suma gráfica de vectores: Dados n
vectores libres, v , v , ..., v , si tomamos como origen de cada uno el extremo del anterior, el vec-
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n
tor suma es el que une el origen del primero con el extremo del último. (Fig. II-18).
Analíticamente esta propiedad se expresa de la forma:
Fig. II-17. Propiedad asociativa de
n la suma de vectores.
s = v + v 2 v + 3 +... v + n = vå i
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i =1
de forma que si: v =x +y +z 1
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v =x +y +z 2
2
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.........................
.........................
.........................
v =x +y +z n
n
n
n
n
x =x 1 +x 2 + ... +x n = åx i
i =1 Fig. II-18. Construcción geométrica
n
entonces: s = x + y + z donde y =y 1 +y 2 + ... +y n = åy i del vector suma de cuatro.
i =1
n
z =z 1 +z 2 + ... +z n = åz i
i =1
y las componentes del vector suma son de nuevo la suma de las correspondientes componentes de
los sumandos.
c) Existe el vector nulo 0, tal que v +0 =v. Sus componentes son todas nulas.
d) Para todo vector v existe el opuesto v, que sumado con v da el vector nulo: v +(v) =0.
Sus componentes son las de v con el signo cambiado, y tiene la misma dirección que v y sentido
contrario.
Al resultado de sumar el vector v el opuesto a v se le llama DIFERENCIA DE AMBOS VECTORES: Fig. II-19. Diferencia de vectores li-
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v v =v +(v ) (Fig. II-19). bres.
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