Page 27 - Fisica General Burbano

ÁLGEBRA VECTORIAL 35

Si queremos definir una dirección de un eje cualquiera dado en el espacio, definiremos el vec-
tor eº en la dirección de dicho eje; es inmediato que sus componentes coordenadas (proyecciones
sobre los ejes) son precisamente los cosenos directores de este eje.

II – 11. Expresión de un vector en función de sus componentes y los vectores
unitarios correspondientes a los ejes de coordenadas
Si las componentes de un vector son x, y, z, es decir:
v =x +y +z (8)
y llamando i, j y k a los vectores unitarios en la dirección y sentido de los ejes, se verificará:
x =xi, y =yj, z =zk; siendo x, y, z los módulos de x, y, z. Sustituyendo estos últimos valores en
la ecuación vectorial (8), obtenemos:
v = x i +y j +z k Fig. II-24.– Componentes coordena-
das de un vector. Vectores unitarios
expresión de un vector en función de los módulos de sus componentes y de los vectores unitarios en los ejes coordenados.
en la dirección y sentido de los ejes. Otra forma que emplearemos en este libro para expresar un
vector en función de sus componentes coordenadas será: v(x, y, z) y en particular para los vecto-
res unitarios en las direcciones de los ejes de coordenadas, i(1, 0, 0), j(0, 1, 0)y k(0, 0, 1).
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PROBLEMAS:2 al 11.
II – 12. Producto escalar de dos vectores*. Propiedades

Es un escalar obtenido multiplicando el producto de sus módulos por el coseno del ángulo
que forman.
v ? v =vv cos j (9)
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También se puede definir el PRODUCTO ESCALAR como producto del módulo de uno de los
vectores por la proyección del otro sobre él.
v ? v =v proy 1 v v 2
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PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
a) El producto escalar goza de la propiedad conmutativa, ya que los tres factores (tres núme-
ros) v , v y cos j pueden colocarse en cualquier orden sin que varíe el valor de su producto.
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Fig. II-25.– Producto escalar.
b) Goza de la propiedad distributiva. En efecto:
v = a + b + c +... Þ proy v 2 =proy a +proy b + ...
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1 v
1 v
1 v
y el producto escalar tendrá por valor:
v ? v =v proy v 1 v 2 =v ( proy v 1 a +proy v 1 b +...) v ? a v ?+ 1 b ... +
=
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como queríamos demostrar.
c) «Si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero». En efecto:
v ? v =vv cos j
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p Þ v ? v = 0 c.q.d.
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j = Þ cos j = 0
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La condición v · v =0 es necesaria para que ambos vectores sean perpendiculares, pero no
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es suficiente, para que esto ocurra hay que exigir además, que tanto v como v sean no nulos.
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d) «Si dos vectores tienen la misma dirección y sentido, su producto escalar es igual al produc-
to de sus módulos».
En efecto: si en (9), j =0 el cos j =1 Þ v · v =v v .
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En particular si v lo relacionamos consigo mismo mediante el producto escalar podremos escri-
bir: v · v =v .
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e) Basándonos en la propiedad distributiva vamos a obtener la expresión del producto escalar
de dos vectores en función de sus componentes.
Dados v (x , y , z )y v (x , y , z ) su producto escalar será:
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v · v =(x i +y j +z k) · (x i +y j +z k) (10)
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* Representamos el producto escalar de dos vectores por v 1 · v 2 ; el vectorial por v 1 ´v 2 (el signo · para el producto es-
calar y el ´ para el vectorial, son notaciones adoptadas por la UIFPA).