Page 32 - Fisica General Burbano
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40 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA
Si suponemos un sistema constituido por n vectores deslizantes colocados en el espacio de la
forma que se quiera, escribiremos:
n
R =å v i
i =1
«Se llama MOMENTO RESULTANTE con respecto a un punto O, a la suma de los momentos con
respecto a O de cada uno de los vectores».
n
N =å r ´ v i
i
i =1
el punto O respecto del que se toman los momentos es arbitrario y se denomina CENTRO DE
REDUCCIÓN.
Al tomar como centro de momentos diferentes puntos, el momento resultante varía su valor, en
consecuencia éste será un vector ligado.
PROBLEMAS:33 al 39.
II 23. Cambio de centro de reducción
Así como el vector resultante R es invariante con respecto al punto en el que se toma el siste-
ma equipolente al dado, el momento resultante varía su valor al variar el centro de reducción.
Se trata de estudiar la relación que existe entre el momento (N) resultante con respecto a un
punto (O) y el momento (N¢) resultante con respecto a otro (O¢).
r
Si r y ¢ son los vectores de posición del origen del vector v referidos respectivamente a O y
i
i
i
O
O¢, tenemos que r i ¢ =r i + ¢ O, generalizando a n vectores y aplicando la definición de N¢pode-
mos escribir:
n n n n
N ¢ =å ¢ ´v i = å r( i + ¢ ´v) i = år i ´ v i + ¢ ´å v i Þ N ¢ = N + ¢ ´ R (17)
O O
OO
r
OO
i
i =1 i =1 i =1 i =1
«El momento de un sistema con respecto a un punto O¢es igual al momento con respecto a
Fig. II-33. Cambio de centro de re- O más el momento del vector resultante respecto de O¢supuesto aplicado en O».
ducción.
PROBLEMAS:40 y 41.
II 24. Invariante vectorial y escalar de un sistema. Torsor
El vector R que no depende del centro de reducción elegido, es por tanto un invariante del
sistema que se le llama INVARIANTE VECTORIAL DEL SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES.
Otro invariante del sistema se obtiene multiplicando escalarmente los dos miembros de la
ecuación (17) por R y obtenemos: MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
N ¢ R? =N R?
ya que (O¢O ´R) · R =0 puesto que son perpendiculares. A este invariante se llama el INVARIAN-
TE ESCALAR DEL SISTEMA.
Podríamos enunciar esta propiedad del sistema de la siguiente forma:
«El momento resultante N tiene constante su proyección sobre la recta de posición del vec-
tor resultante R».
En efecto: por la definición de producto escalar:
N · R =NR cos a =R proy N
R
(18)
N¢· R =N¢R cos b =R proy N¢
R
teniendo en cuenta que R es invariante e igualando:
proy N = proy N¢
R
R
«Aunque N no es un invariante del sistema, sí lo es su proyección sobre una recta que lleva
la dirección de R».
Por otra parte, si despejamos N en la fórmula (18) podemos poner:
proy N
N = R (19)
® cos a
Fig. II-34. El momento N, paralelo a
®
R, es mínimo por carecer de compo- y tomará N el valor mínimo (Fig. II-34) cuando cos a =1 o sea a =0 lo que nos dice:
nente perpendicular a la dirección de
la resultante. «El momento del sistema será mínimo cuando tenga la misma dirección que R».
