Page 37 - Fisica General Burbano
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COORDENADAS POLARES 45
Desarrollando u en la base {i, j} tenemos:
r
r =r (cos j i +sen j j) =r cos j i +r sen j j
con lo que la relación entre las componentes de ambos sistemas es:
r
r
x = cos j y = sen j
y de la Fig. II-36, la inversa:
y
r = x 2 + y 2 j =arctg
x
PROBLEMAS:56 al 60.
PROBLEMAS
A) ÁLGEBRA VECTORIAL punto O (1, 2, 1) y de extremo el punto P (3, 0, 2) y el vector
c (2, 0, 3). Calcular: 1) 2a 3b +c.2) |3a 2b +2c|.
1. Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 60° y tiene de 10. Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de refe-
módulo 4 unidades. Calcular: 1) Sus componentes coordenadas. rencia el punto O (1, 2, 0) y de extremo P (3, 1, 2). Calcular:
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2) Ángulo que forma con el eje Z. 1) Componentes del vector OP. 2) Módulo y cosenos directores. 3) Un
2. Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos vector unitario en la dirección de él pero de sentido contrario.
son: F =5 kp y F =7 kp, que forman respectivamente los siguientes 11. Dados los vectores a (2, 4, 6)y b (1, 2, 3). Calcular: 1) El
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ángulos con el eje OX: 60° y 30°. Calcular: 1) La fuerza resultante. vector suma a +b, su módulo y cosenos directores. 2) El vector dife-
2) Su módulo. 3) Ángulo que forma con el eje OX. rencia a b y el vector unitario que define su dirección y sentido.
3. Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son: 12. Dados los vectores: a (1, 1, 2)y b (1, 3, 4). Calcular:
F =6 kp, F =3 kp, F =4 kp, que forman, respectivamente, los si- 1) El producto escalar de ambos vectores. 2) El ángulo que forman.
1
3
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guientes ángulos con el eje OX: 45°, 30° y 60°. Las tres fuerzas están 3) La proyección de b sobre a.
en el mismo plano. Calcular el módulo de la resultante y el coseno del 13. Demostrar que el vector unitario a, cuyos cosenos directores
ángulo que forma con el eje OX. son: cos a =1/3, cos b =2/3 y cos g >0, es perpendicular al vector
4. Teniendo en cuenta que la fuerza de interacción Newtoniana en- b (6, 9, 6).
tre dos partículas de masa m y m¢que distan entre sí r, es: F = 14. Demuéstrese que si la suma y diferencia de dos vectores tienen
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2
=Gmm¢r/r ,[G =6,67 ´10 11 N · m /kg ], resolver el siguiente pro- el mismo módulo, entonces son perpendiculares.
blema: supongamos que en el espacio intergaláctico (fuera de toda in- 15. Hallar el vector unitario paralelo al plano OYZ, y perpendicular
fluencia de cuerpos celestes) definimos un sistema de ejes rectangulares. al vector v =2i +j 3k.
Tres partículas de masa 4 kg las colocamos en (0, 0), (2, 2), (2, 2) me- 16. Dado el vector v =4i j +2k, calcular su proyección sobre la
didas estas coordenadas en metros. Calcular la fuerza que ejercerán so- recta que pasa por los puntos A (0, 1, 2)y B (2, 2, 1).
bre una partícula de masa 1 kg colocada en (4, 0)m. =2i 2j +k y v =i 2j. Calcular
17. Se tienen los vectores v 1 2
3
5. Si la expresión de la ley de Coulomb es: F =K qq¢r/r , las componentes del vector unitario u, perteneciente al plano determina-
0
[K =9 ´10 N · m /C ]. Calcular la fuerza que actúa sobre una carga do por v y v y perpendicular al vector v =v 2v .
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9
2
0
2
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2
de 1 mC colocada en el punto (6, 0) m debida a la siguiente distribución: 18. Demostrar que las alturas de un triángulo se cortan en un punto.
En el origen de coordenadas una carga q =2 mC, en el punto (0, 3)m 19. Dados dos vectores a (2, 1, 3)y b (1, 0, 2) hállese un vec-
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una carga q =3 mC y en el punto (0, 3) m una carga q =3 mC tor unitario que sea perpendicular ambos.
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(suponemos las cargas en el vacío). 20. Dados los siguientes vectores: a =(2i +3j +6k)/7, b =(3i
6. Descomponer la fuerza de módulo F =20,0 N en las direccio- +6j +2k)/7, c =(6i +2j 3k)/7, demuéstrese: 1) Que sus respectivos
nes a y b indicadas en la figura. módulos valen la unidad. 2) Que son perpendiculares entre sí. 3) Que
c es el producto vectorial de a por b.
21. Dados los vectores a (1, 3, 2)y b (1, 1, 0). Calcular:
1) Su producto vectorial. 2) El área del paralelogramo que tiene a los
dos vectores como lados. 3) Un vector c, de módulo 6, perpendicular al
plano en que se encuentran a y b.
22. Los tres vértices de un triángulo son: A (2, 1, 3), B (2, 1, 1)
y C (0, 2, 1). Calcular: 1) Área del triángulo. 2) Ángulo A.
23. Tres vértices de un paralelogramo ABCD tienen por coordena-
das: A (2, 0, 2), B (3, 2, 0)y D (1, 2, 1). Calcular: 1) Las coordena-
das del vértice C. 2) Área del paralelogramo. 3) Ángulo en B.
24. Si el producto vectorial de dos vectores es a ´b =3i 6j +2k
y sus módulos son 4 y 7 , respectivamente, calcular su producto es-
Problema II-6. Problema II-27. calar.
25. 1) Deducir el teorema del coseno para un triángulo utilizando
7. Si tienen tres vectores no coplanarios OA =a, OB =b y el producto escalar. 2) Dedudir el teorema de los senos para un triángu-
OC =c. Designamos por M el punto medio del segmento rectilíneo AB lo utilizando el producto vectorial.
y por G el baricentro del tríangulo ABC; se pide obtener razonada y su- 26. Definido un sistema de referencia cartesiano en el plano: OXY;
cesivamente: 1) Expresión de OM en función de a y b. 2) Expresión de y en él dos vectores unitarios cualesquiera u y u que forman los ángu-
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MC en función de OM y c, así como la de GC en función de MC. los a y b respectivamente con la dirección positiva del eje OX.1) De-
3) Expresión de OG en función de a, b y c. mostrar que: u =cos a i +sen a j, u =cos b i +sen b j. 2) Calcular,
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2
8. Dados los vectores: a = 3i 2j, b = 4i + j, calcular: 1) El por aplicación del producto escalar de u y u , la expresión de
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1
vector suma y su módulo. 2) El vector diferencia y el ángulo que forma cos (a b). 3) Calcular, por aplicación del producto vectorial de u y u ,
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con el eje OX. 3) El vector c =2a 3b y el vector unitario que define la expresión de sen (a b).
la dirección y sentido de c. 27. Calcular el volumen del paralelepípedo de la figura sabiendo
9. Dados los vectores: a de módulo 3 y cosenos directores propor- que O (1, 0, 2), A (3, 2, 4), B (2, 6, 8)y C (2, 3, 1), expresadas en
cionales a 2, 1 y 2, b que tiene de origen respecto de cierto sistema el metros.
