Page 36 - Fisica General Burbano

44 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

CONSECUENCIA:
La condición que cumple un vector de dirección constante es también que:
d v
v ´ = 0
dt
En efecto: si v =vu tendremos que:
dv dv u dv dv u dv u ( u ´) c.q.d.
dt = dt Þ v ´ dt = vu ´ dt v = dt 0=
PROBLEMAS:48 al 51.

II – 31. Integración de funciones vectoriales
Se tiene un vector que es función de un parámetro t, v =v(t); se define la integral de la fun-
ción vectorial en un intervalo (a, b) de valores de t de la forma siguiente: dividimos este intervalo
en n partes; sea Dt una de ellas y v(t) el valor del vector correspondiente a un valor t de este in-
tervalo parcial Dt. Si tomamos el producto v(t) Dt y sumamos los productos análogos de cada
una de las n partes del intervalo (a, b), el límite (si existe) de la suma de estos productos cuando Dt
tiende a cero es la INTEGRAL DEFINIDA del vector v(t) en el intervalo (a, b) y se escribe:
z b

I = a v()tdt = lím i å v()t D t
® 0
t D
podremos escribir este vector integral en función de sus componentes coordenadas de la forma:
z b z z b
b
I = I x + I y I + z = a v tdt() + a v t dt() + a v tdt()
x
y
z
PROBLEMAS:52 al 55.
E) COORDENADAS POLARES
Las coordenadas cartesianas (x, y, z) no son las únicas en las que se puede expresar un vector.
aunque son las más utilizadas, existen otros sistemas de coordenadas cuyo uso simplifica el trata-
miento de algunos problemas. Definiremos a continuación las coordenadas polares planas en dos
dimensiones. En tres dimensiones se emplean las cilíndricas y esféricas, que no analizaremos aquí.

II – 32. Coordenadas polares planas
La posición de un punto del plano OXY queda fijada por dos parámetros que son el módulo de
su vector de posición, r, y el ángulo, j, que éste forma con el sentido positivo del eje OX. Los co- MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
rrespondientes vectores unitarios perpendiculares son u ,y u , señalados en la Fig. II-36. La rela-
r
j
ción entre éstos y los i y j cartesianos se obtiene fácilmente de la Fig. II-37.
u
u
u = || cos j i +| | sen j j u = cos j i +sen j j
r
r
r
r
u
u
u =-||sen j i +||cos j j Þ u =- sen j i + cos j j
j
j
j
j
Fig. II-36.– Coordenadas polares pla- Las componentes de i y j en la base (u , u ) serán tales que:
nas. Vectores unitarios perpendicula- r j
res. i =(proy i u +) (proy i u)
u r r u j j
j =(proy j u +) (proy j u)
u r r u j j
es decir:
iu iu j
?
?
)]
)]
- j
+ j
i = ?
i = r u + u j [(cos j i + sen j j u r [ i +?( sen i cos j u j
r
u
|| | u |
r
j
desarrollando los productos escalares y realizando un cálculo análogo para j, obtenemos:
i =cos j u -sen j u j
r
j =sen j u +cos j u j
r
componentes que, como se ve, coinciden con las de la transformación inversa si cambiamos filas
por columnas.
En este sistema, el vector de posición del punto P se expresa:
® ® y
Fig. II-37.– Relación entre (,uu j ) r =r u r
r
®®
los cartesianos (, )ij .