Page 41 - Fisica General Burbano

MAGNITUDES FUNDAMENTALES DE LA CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA 49

Para pasar del grupo de fórmulas (3) y (4) al (2) o viceversa, se tendrá en cuenta la ecuación
de cálculo de longitudes de curvas:
z x
x
j
j
s = 1 + ¢ x () 2 + ¢ x () 2 dx =j()* (5)
1
2
x 0
en la que j ()x y j ()x son las primeras derivadas respecto de la variable x de las funciones
¢
¢
1
2
y =j (x), z =j (x), obtenidas despejando de las ecuaciones (3) las variables y, z.
2
1
Si tenemos las (3) y s =s(t) obtenemos de s(t) =j(x) Þ x =x(t) que sustituida en
y =j (x)y z =j (x) obtenemos (2).
2
1
Si tenemos (2) obtenemos (3) y de ellas j (x)y j (x) e inmediatamente s =j(x) y con
2
1
x =x(t) Þ s =s(t).
El problema también puede resolverse teniendo en cuenta que:
dr . ds
v = = s = Þ ds = v t dt()
dt dt
en la que v, como veremos a continuación, es el módulo de la velocidad instantánea. Integrando
obtenemos la ley horaria.
Si la partícula se mueve en un plano y tomamos en él el sistema de referencia (OXY), el pro-
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blema se reduce a las ecuaciones:
dy
x = x t() y = f x() Þ y ¢ =
r = x i +y j Û dx
y =y t() s =s t()
z x
y la (5) se reduce a:
x
s = 1 + y¢ 2 dx =j()
x 0
Por último, para una dimensión (movimiento rectilíneo), haremos coincidir el eje OX con la di-
rección del movimiento y x =x(t) Û s =s(t).
PROBLEMAS: 1 al 3.
III – 5. Vector desplazamiento
Durante el movimiento de la partícula, las coordenadas de los puntos en que se encuentra
varían; supongamos que en el instante t se encuentra en el punto P(x, y, z), transcurrido un inter-
valo de tiempo Dt, la partícula se encontrará en un punto P¢(x¢, y¢, z¢) (Fig. III-2); tendremos
que: OP =r(x, y, z) y que OP¢=r¢(x¢, y¢, z¢); llamando Dx, Dy, Dz a la variación que experi-
mentan x, y, z en el tiempo Dt el vector Dr será: Dr =Dxi +Dyj +Dzk, teniendo en cuenta que
r¢=r +Dr, obtenemos:
x¢=x +Dx y¢=y +Dy z¢=z +Dz
Al vector Dr se le llama VECTOR DESPLAZAMIENTO y nos indica el cambio de posición de la partí-
cula al trasladarse de P a P¢: Dr =r¢– r.
Hay que distinguir entre el módulo del vector desplazamiento |Dr|, y la distancia entre dos po-
siciones medida sobre la trayectoria, Ds en la Fig III-2; sólo coincidirán en movimientos rectilíneos.

III – 6. Velocidad media. Vector velocidad media
Desde que se inicial nuestra razón tenemos una idea de lo que significa la palabra «velocidad»;
en principio es una relación entre el espacio recorrido por el móvil y el tiempo empleado en reco-
rrerlo, o bien un concepto de «rapidez» del móvil en un instante determinado. Pasar a cuantificar
estas dos ideas es el objetivo de éste y el siguiente párrafo.

*CONVENIO: La notación que empleamos para expresar la primera derivada de una función respecto de la variable x, es
colocando una «prima» a la función correspondiente, así:
dy dj df
y x
f x
y x
f x(),
y = () Þ = y¢ = ¢ (), j =j x ( ) Þ = ¢ = ¢ x ( ), f = () Þ = f ¢ = ¢ ...
j
j
dx dx dx
para expresar la derivada segunda de la función respecto de la variable x le colocaremos otra «prima», así:
2
dy d F dyI
dxK
x
dx H
y = y x() Þ = G J = y¢¢ = y¢¢ () ...
dx 2
Para designar la derivada respecto del tiempo t (derivada temporal) de una función, le colocamos un «punto» encima, de
tal forma:
dx . . dj . . dr . .
t
x = x t() Þ = x = x t(), j =j t ( ) Þ =j =j x ( ), r =()r t Þ =r r =() ...
dt dt dt
análogamente, las segundas derivadas se escribirán:
.. .. ..
x, , j , r ...