Page 43 - Fisica General Burbano

MAGNITUDES FUNDAMENTALES DE LA CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA 51

puesto que la dirección de la cuerda en el límite coincide con la tangente en P, dicho límite será un
vector unitario tangente a la trayectoria y sentido el del movimiento, vector que llamaremos t:
Dr
t = lím
Dt ® 0 Ds
El segundo factor lo hemos llamado velocidad verdadera; con lo que:
. .
v =vt =st r = (6)
De todo ello deducimos:
«El vector velocidad instantánea de una partícula en movimiento tiene por módulo la deri-
vada del espacio con relación al tiempo, dirección la de la tangente a la trayectoria y senti-
do el del movimiento».
.
El valor ||r es un escalar que representa el aumento en la unidad de tiempo de la distancia al
origen de referencia O del sistema OXYZ, y en el límite esta variación coincide con la variación de
.
.
la distancia medida sobre la trayectoria, entonces: s =||r =|v . |
Los vectores unitarios i, j y k, no tienen derivadas temporales, puesto que tanto sus módulos
como sus direcciones y sentidos son constantes con el tiempo, por lo que si es r(x, y, z) el vector
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de posición de la partícula en un instante determinado, las componentes coordenadas del vector Fig. III-5.– Vector aceleración media.
velocidad en ese instante serán:
. . . . . .
v = x v = y v z z = Û v()t = i x + y j + z k Þ vt() = v 2 x +v 2 y +v 2 z
y
x
PROBLEMAS:7 al 9.
III – 8. Vector aceleración media
En el movimiento general de una partícula varía el vector velocidad en módulo y dirección. Su-
pongamos que la partícula en el origen de tiempos se encuentra en el punto P de su trayectoria
0
definida por la función: r =r(t) (Fig. III-5), transcurrido un tiempo t su posición es P, definida
por r =OP y en ese instante posee una velocidad v; en el instante t +Dt su posición es P¢, defi-
nida por r¢=OP¢y tiene una velocidad v¢.

Si llamamos Dv =v¢– v, definimos el VECTOR ACELERACIÓN MEDIA como el cociente entre el
incremento del vector velocidad y el intervalo de tiempo transcurrido en tal variación de ®
velocidad. Fig. III-6.– El vector Dv y por tanto
a ® , en general, no tiene una dirección
v(t + tD ) - v( )t D v concreta, como la tiene el vector ve-
a = = locidad que es siempre tangente a la
t D t D
curva trayectoria.
este vector, que tiene la dirección y sentido de Dv no tiene una dirección concreta como la
tiene el vector velocidad que es siempre tangente a la curva trayectoria (Fig. III-6).
–2
Por ser la ecuación de dimensiones de la aceleración: [a] =[v]/[t] =LT , se medirá en el SI
2
en m/s .
III – 9. Vector aceleración ® v 2 ® v 1
Si a partir del punto P (Fig. III-7), medimos variaciones del vector velocidad en intervalos de ® v 3 P
tiempo cada vez más pequeños, Dt , Dt , ..., obtendremos valores del vector aceleración media en P 2 1
2
1
tramos cada vez más cortos. Al hacer tender Dt a cero obtendremos el vector aceleración media en ® v P 3
un tramo infinitesimal a partir de P; a ese valor del vector aceleración media lo llamaremos VECTOR
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA, o simplemente VECTOR ACELERACIÓN, es decir: P
® v 0
a = lím a = lím D v = d v v = .
Dt ® 0 Dt ® 0 Dt dt P 0
Fig. III-7.– Al considerar variaciones
y si en el punto en que medimos a el vector velocidad es: del vector velocidad en tiempos cada
vez menores, obtenemos valores del
r d d v d r d d 2 r .. vector aceleración media en tramos
v = Þ a = = = r = (7)
dt dt dt dt dt 2 cada vez más cortos.

«El VECTOR ACELERACIÓN es la derivada del vector velocidad respecto del tiempo o bien la
derivada segunda del vector de posición respecto al tiempo dos veces».
En componentes cartesianas, la anterior relación se puede desglosar de la forma:
. .. . .. . .. . .. .. .. 2 2 2
a = v x = x a y v = y y = a z v = z z= Û a()t = v = i x y + j + z k Þ a t() = a x + a y +a z
x