Page 44 - Fisica General Burbano

52 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

III – 10. El problema fundamental del movimiento de la partícula
Matizando sobre todo lo dicho anteriormente, el problema fundamental de la cinemática es de-
terminar posición, velocidad y aceleración de la partícula, referidas a un sistema de referencia
OXYZ que consideramos fijo (Fig. III-8), interrelacionadas entre sí por las ecuaciones:

r() t = i x + y j + z k r d zz t 2 v() t dt
r 2
. . . . r d =
z
v() t = r = i x y + j + k = r 1 t 1 (8)
dt
v 2
. .. .. .. .. d v zz t 2 a() t dt
d
a() t = v = r = i x y + j z + k = v =
dt v 1 t 1
®
®
Fig. III-8.– v y a pertenecen al mis- PROBLEMAS:10 al 14.
mo plano (plano osculador).
C) MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS. MAGNITUDES ANGULARES
III – 11. Movimiento rectilíneo
«MOVIMIENTO RECTILÍNEO de una partícula es aquel cuya trayectoria es una línea recta»; es
por lo tanto un movimiento unidimensional.
Elegimos como sistema de referencia en el estudio del movimiento unidimensional a la línea
recta sobre la que se encuentra la partícula, sobre la que tomaremos un punto (O) como origen de
espacios en el que consideraremos x =0; los desplazamientos de la partícula (posición) hacia la
x = 0 t = 0 X
derecha de O serán positivos y hacia la izquierda negativos. El signo de la magnitud velocidad, de-
O ® v penderá del sentido del movimiento, para desplazamientos de la partícula hacia la derecha en la
x 0 0
Fig. III-9 la velocidad será positiva, en caso contrario será negativa. No dependerá del sentido del
Fig. III-9.– Movimiento rectilíneo. movimiento el signo de la magnitud aceleración, pues ésta será positiva cuando desplazándose la
partícula de izquierda a derecha aumente su velocidad, y cuando desplazándose de derecha a iz-
quierda su velocidad disminuya; será negativa cuando la partícula se desplace de izquierda a dere-
cha disminuyendo su velocidad y cuando desplazándose de derecha a izquierda su velocidad
aumente.
Si en el instante t =0, la posición de la partícula no coincide con el origen de espacios x =0,
diremos que existe un ESPACIO INICIAL (x ) que se obtendrá haciendo t =0 en la ecuación x =
0
=x(t). A la velocidad que posee el móvil en t =0 la llamaremos VELOCIDAD INICIAL (v ) y se ob-
0
tendrá haciendo t =0 en v =v(t).
Para un punto P que se mueve en el eje OX, las ecuaciones de su movimiento las obtendremos
de las generales (8), considerando únicamente las componentes en el eje OX y prescindiendo del
cálculo vectorial, es decir:
. . ..
x = x t() v = v t =() x a = a t = =() v x (9) MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
o sus expresiones integrales
zz t 2 v t dt() z z t 2 a t dt() (10)
x 2
v 2
dx =
dv =
x 1 t 1 v 1 t 1
Eliminando dt entre las dos últimas de las (9), se obtiene una relación diferencial, muy útil en
la resolución de problemas, entre la posición, la velocidad y la aceleración:
vdv = a dx (11)

las (9) y (11) son las ecuaciones diferenciales del movimiento rectilíneo de la partícula; para el cál-
culo de variaciones finitas de las magnitudes cinemáticas así relacionadas, se integrarán (10), para
lo cual será necesario tener las condiciones de contorno (iniciales, intermedias o finales) necesarias
para su resolución. Los casos posibles son:

A. Conocida la ecuación de la posición en función del tiempo: x =x(t); las sucesivas deriva-
ciones matemáticas nos proporcionan la velocidad y la aceleración.
PROBLEMAS:15 al 17.

B. Se conoce: v =v(t); en la segunda de las ecuaciones (9) puede integrarse directamente
respecto del tiempo obteniéndose x =x(t). Nos hace falta una condiciones de contorno para esta-
Fig. III-10.– Representación gráfica blecer los límites de integración o para determinar la constante de integración si se utiliza la inte-
de x =x(t), v =v(t)y a =a(t) para .
el movimiento rectilíneo de una par- gral indefinida. Para obtener la aceleración utilizamos: a = . v
tícula. PROBLEMAS: 18 y 19.