Page 33 - Fisica General Burbano

TEORÍA DE MOMENTOS 41

Al conjunto de vectores {R, N } se le denomina TORSOR; R es la resultante del sistema de vec-
R
tores y N el momento mínimo (que como ya hemos dicho tiene la dirección del R), de la (19) es
R
fácil deducir que su valor es:
NR
?
N = R
R
R 2
II – 25. Eje central
«EJE CENTRAL es el lugar geométrico de los puntos del espacio para los cuales el momento
del sistema es mínimo, o lo que es lo mismo, el momento del sistema tiene la misma direc-
ción que R».
Para encontrar el eje central de un sistema, bastará con encontrar un punto de éste, ya que tra-
zando una paralela a R por este punto obtendremos la solución a nuestro problema.
Supongamos que la resultante de un sistema es R y el momento resultante es N¢(Fig. II-35).
N
N
Descomponemos N¢en dos direcciones, una paralela a R ( ¢ ) y otra perpendicular ( ¢ ). To-
p
n
memos una distancia PO perpendicular al plano de N¢y R, tal que el momento de R con respecto
a O anule la componente N ¢ del vector N¢(es decir: igual en módulo a N ¢ y de sentido contrario
n
n
a él). Podemos escribir:
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N ¢=-OP ´R (20) Fig. II-35.– Eje central.
n
Si llamamos N al momento resultante del sistema con respecto a O y aplicando el cambio de
centro de reducción de P a O (fórmula 17) obtenemos:
N
N = N¢ + OP ´ R = ¢+ N¢+ OP ´ R
n
p
y teniendo en cuenta (20) nos queda:
N = N¢
p
luego O es el punto que buscábamos.
II – 26. Ecuación del eje central
Sean R(R ,R ,R )y N(N ,N ,N ) la resultante y el momento resultante, con respecto al
y
x
z
y
x
z
origen, de un sistema de vectores deslizantes. Si llamamos N¢al momento con respecto a otro
punto P(x, y, z), aplicando (17) pondremos: N¢=N +PO ´R =N +R ´OP, como:
i j k
R ´ OP = R x R y R z =R z( y -R y) i ( +R x - Rz) j ( + Ry R -x) k
x
z
x
z
y
x y z
entonces:
N¢=(N +R z – R y) i +(N +R x – R z) j +(N +R y – R x) k
z
y
x
z
x
y
z
x
y
Para que P pertenezca al eje central, se tiene que verificar que N¢y R sean paralelos por lo que
tendrán que tener las componentes coordenadas proporcionales:
N + R z - R y N + R x - R z N + R y - R x
z
z
y
x
x
y
y
z
x
R x = R y = R z
expresión analítica del eje central.
PROBLEMAS:42 al 46.
II – 27. Casos particulares
De todo lo anteriormente dicho se deducen las siguientes CONSECUENCIAS:
1.ª Si la resultante del sistema es nula (R =0), el momento resultante es el mismo cualquiera
que sea el centro de reducción elegido, y en consecuencia, este será un vector libre; esta afirma-
ción nos la demuestra la fórmula (17).
2.ª Tomando como centro de momentos cualquier punto del eje central el sistema se reduce al
Torsor.
3.ª Si el momento mínimo del sistema es nulo entonces tiene que verificarse que el vector re-
sultante y el momento resultante son perpendiculares entre sí; entonces si O es un punto del eje
central, el momento N del sistema respecto de O es nulo y de (17) deducimos que el momento
respecto de otro punto O¢es:
N ¢ = ¢ ´O O R