Page 28 - Fisica General Burbano

36 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

y como: i · i =j · j =k · k =1, i · j =j · k =k · i =0, desarrollando la (10) nos queda:

v ? v =xx 2 +y y +z z
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f) Ángulo de dos vectores. La propiedad e) nos proporciona un método sencillo para obtener
el ángulo que forman dos vectores, conocidas sus componentes. En efecto:
v ? v = xx 2 +y y +z z Þ cos j = xx 2 +y y +z z Û cos j = v ? v 2
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v ? v =vv cos j x 1 2 +y 2 1 +z 1 2 x 2 2 + y 2 2 + x 2 2 vv 2
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PROBLEMAS:12 al 18.
II – 13. Producto vectorial de dos vectores
Es un vector, cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los factores, por el seno
del ángulo que forman los vectores:
A =|v ´v | =v v sen j (11)
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la dirección del producto vector, es perpendicular al plano determinado por los factores, y
su sentido el de avance de un sacacorchos que gira del primero al segundo factor por el ca-
mino más corto. (Fig. II-26).
El módulo (11) es el área del paralelogramo que tiene v y v como lados. Como la dirección
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de v ´v es normal al plano del paralelogramo podemos considerarlo como el «vector área» del
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paralelogramo. Puesto que: v sen j =h (altura del paralelogramo formado por v y v como la-
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dos), se verifica: Área del paralelogramo =A =v h.
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Fig. II-26.– Producto vectorial. El Física es conveniente «asociarle a una superficie un vector» como veremos más adelante.
Las propiedades de esta operación las pondremos después del desarrollo del producto mixto o
triple producto escalar.
II – 14. Producto mixto o triple producto escalar
El PRODUCTO MIXTO es un escalar, cuyo valor es el producto escalar de un vector, por un
producto vector.
V =v ?( v 2 ´v )
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El escalar que resulta en el producto mixto es el volumen del paralelepípedo de aristas v ,v ,
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v ya que A =v ´v es el área de la base y: v · A =v A cos j =Ah =V; demostrado esto, es
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inmediato que se verifican las igualdades:
v · (v ´v ) =v · (v ´v ) =v · (v ´v ) =–v · (v ´v ) =–v · (v ´v ) =–v · (v ´v ) MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
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También se representa este producto mixto de la forma:
Fig. II-27.– Producto mixto. v v v =v v v =v v v *
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II – 15. Propiedades del producto vectorial
a) El producto vectorial goza de la propiedad anticonmutativa (no goza de la propiedad con-
mutativa) ya que: v ´v =–v ´v 1
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b) Es distributivo, es decir: v ´(v +v ) =v ´v +v ´v . En efecto: formemos el vector di-
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ferencia de ambos miembros de la igualdad anterior:
a =v ´(v +v ) – v ´v – v ´v 3
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multiplicando escalarmente los dos miembros de esta igualdad por un vector cualquiera b no nulo,
nos queda:
b · a =b · [v ´(v +v )] – b · (v ´v ) – b · (v ´v )
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haciendo uso de la propiedad del producto mixto obtenido en el párrafo anterior y de la propie-
dad distributiva del producto escalar, obtenemos:
b · [v ´(v +v )] =(v +v ) · (b ´v ) =v · (b ´v ) +v · (b ´v ) =b · (v ´v ) +b · (v ´v )
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que sustituida en la anterior igualdad, nos hace ver que a =0. resultando por tanto que:
v ´(v +v ) =v ´v +v ´v 3 c.q.d.
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* La propiedad es sencilla de recordar: pondremos siempre como segundo factor del producto mixto al producto vector.
De los tres factores pasaremos el último a primer lugar y tendremos así las tres formas posibles del producto mixto.