Page 31 - Fisica General Burbano

TEORÍA DE MOMENTOS 39

II – 20. Momento de un vector con respecto a un eje
Consideremos un eje e y un vector v de origen P. Si obtenemos el momento del vector con
respecto a un punto del eje y tal vector-momento lo proyectamos sobre el eje, el valor de
tal proyección es un escalar, al que se llama MOMENTO DEL VECTOR CON RESPECTO AL EJE.
Considerando el eje e y el vector v (Fig. II-32), el momento de v con respecto a un punto O del
eje es: N =r ´v, y el momento con respecto al eje será:

N =proy (r ´ )v (15)
e
e
Si tomamos el momento de v con respecto a otro punto cualquiera del eje, O¢, obtenemos:
N¢=r¢´v, pero como r¢=O¢O +r nos quedará:
N¢=(O¢O +r) ´v =O¢O ´v +r ´v
su proyección sobre el eje e será: Fig. II-32.– Momento de un vector
respecto de un eje.
N e ¢=proy (OO ¢ ´ )v +proy (r ´ )v
e
e
el producto O¢O ´v es perpendicular a O¢O (y a v) y por tanto perpendicular al eje e; su pro-
yección sobre tal eje es nula, quedando la anterior igualdad de la forma: N e ¢=proy (r ´ , ) v
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
e
idéntica a la (15) lo que nos demuestra:
«El valor del momento de un vector con respecto a un eje es el mismo, cualquiera que sea
el punto del eje que tomemos como centro de momentos».
CONSECUENCIAS:
«Si el vector y el eje están en el mismo plano el momento es nulo» ya que el momento del
vector con respecto a cualquier punto del eje es perpendicular a éste y por tanto su proyección
es cero.
«Si el vector y el eje están cruzados perpendicularmente el momento con respecto al eje es
igual al momento con respecto a cualquier punto del eje» ya que este último momento coincide en
dirección con el eje.

II – 21. Expresión del momento de un vector con respecto a un punto y a un eje en
función de las componentes coordenadas del vector
Sea N el momento del vector v =v(v ,v ,v ), de origen P(x, y, z), con respecto a un punto
z
y
x
O(x ,y ,z ), entonces:
0
0
0
i j k
N = OP ´ v = x -x 0 y -y 0 z - z 0
v x v y v z
luego:
y - y 0 z - z 0 z - z 0 x - x 0 x - x 0 y - y 0
N = v y v z N = v z v x N = v x v y (16)
z
y
x
Sea N el momento del vector v =(v ,v ,v ) con respecto al eje e, cuya dirección viene defi-
z
x
e
y
nida por sus cosenos directores (cos a, cos b, cos g) que son las componentes coordenadas del
vector unitario eº que define la dirección del eje. El momento N se obtiene por la definición del
e
producto escalar:
N =proy N =N · eº =N cos a +N cos b +N cos g
y
z
e
e
x
si tenemos en cuenta (16) y que O(x , y , z ) pertenece al eje podremos poner:
0
0
0
cos a cos b cos g
N = x - x 0 y - y 0 z - z 0 =º(e ? OP ´) v
e
v x v y v z
que es la expresión que queríamos hallar.
II – 22. Resultante de un sistema de vectores deslizantes. Momento resultante del
sistema. Centro de reducción
«Se llama RESULTANTE de un sistema de vectores deslizantes o cursores al vector libre que se
obtiene por la suma de los vectores equipolentes a los del sistema, tomando como origen
de ellos un punto cualquiera del espacio».