Page 35 - Fisica General Burbano

CÁLCULO INFINITESIMAL VECTORIAL 43

II – 30. Derivada de un vector con respecto a un escalar
Si v(t) es una función vectorial del parámetro t, e incrementamos t, pasando su valor a
t +Dt, hallaremos el valor de Dv(t) de la forma: Dv(t) =v(t +Dt) – v(t).
Si dividimos el vector Dv por Dt y pasamos al límite con Dt tendiendo a cero, obtenemos la de-
finición de DERIVADA DE UN VECTOR CON RESPECTO A UN ESCALAR:

Dv v( t + Dt -v) t ( ) dv
lím = lím =
Dt ® 0 Dt Dt® 0 Dt dt
Es evidente que las componentes coordenadas de dv/dt serán: dv /dt, dv /dt, dv /dt.
x
z
y
Las propiedades que siguen a continuación, que no deducimos, se pueden demostrar igual
que se hace, en la teoría de funciones, en cualquier tratado de cálculo infinitesimal.
dv d dsv
a) Si v =v(s)y s =s(t) obtenemos que: =
dt ds dt
dv da db
b) Si v(t) =a(t) +b(t) tendremos: = +
dt dt dt
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da df db
c) Si a(t) =f(t) b(t) tendremos: = b + f
dt dt dt
CONSECUENCIAS
1) Si v(t) =v(t) u, siendo u =v(t)/v(t) (vector unitario en la dirección v), podemos escribir

dv dvu( ) v du dv u (21)
dt = dt = dt + dt

2) Si v es tal que v =vu y v es constante en dirección (u no varía) tendremos:

du =0 dv dv u
dt Þ dt = dt
la derivada de v es pues un vector en la dirección de v.

3) Si v es constante en módulo:
dv du v
dt = dt
2
este vector es perpendicular al vector v. En efecto: como v · v =v derivando:
dv( 2 ) d (vv ) dv dv v dv
?
dt = dt =v ? dt + dt ? 2 =v ? dt 0 =
luego si v · dv/dt =0 tendremos que v y dv/dt son perpendiculares.
4) Como consecuencia de las propiedades 2 y 3 si v no conserva constante ni módulo ni di-
rección, la igualdad (21) demuestra que la derivada de v es la suma vectorial de dos vectores, uno
en la misma dirección que v y otro perpendicular a ella.
5) Al ser u un vector unitario, conserva constante el módulo, tendremos por la propiedad 3:
d u
u ? =0
dt
luego v ydu/dt son siempre perpendiculares.
d) Derivada del producto escalar:

d(ab? ) db da b
dt = a ? dt + dt ?

e) Derivada del producto vector:

d(a ´ ) b db da
dt = a ´ dt + dt b ´