Page 29 - Fisica General Burbano

ÁLGEBRA VECTORIAL 37

c) Cuando dos vectores son paralelos su producto vectorial es el vector nulo y sus componen-
tes coordenadas son proporcionales entre sí. En efecto: j =0 Þ sen j =0 Þ v ´v =0,la
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propiedad recíproca se cumple si y solo si v y v son no nulos.
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Además: si v (x ,y ,z )y v (x ,y ,z ) son paralelos podemos escribir (párrafo II-9 apar-
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tado a):
v =av 2 Þ x i +y j +z k =ax i +ay j +az k
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luego: x =ax , y =ay y z =az , de donde:
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x y z
a = 1 = 1 = 1 c.q.d.
x 2 y 2 z 2
II – 16. Expresión del producto vectorial y mixto en función de las componentes
coordenadas de los factores
PRODUCTO VECTORIAL: Sean v (x ,y ,z )y v (x ,y ,z ), entonces:
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v ´v =(x i +y j +z k) ´(x i +y j +z k)
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teniendo en cuenta que:
k
i ´ i = 0 j ´ k = - ´ j i =
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
j
j ´ j = 0 i ´ j = - ´ i k =
i
k ´ k = 0 k ´ i = - ´ k j =
y aplicando la propiedad distributiva obtenemos:
-
-
v ´ v 2 =xy k -xz j -yx 2 k +y z i + z x 2 j zy i Þ v 1 v´ ( = y z zy i ) z ( 1 +x 2 xz - j ) ( xy + yx -) k
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esta igualdad podemos escribirla de la forma:
i j k
v ´ v 2 = x 1 y 1 z 1 (12)
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x 2 y 2 z 2
PRODUCTO MIXTO: Sean v (x ,y ,z ), v (x ,y ,z )y v (x ,y ,z ), llamando v ´v =v(x, y, z),
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podemos poner el producto mixto: v · (v ´v ) =v · v, por lo que:
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v · (v ´v ) =v · v =x x +y y +z z
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teniendo en cuenta la (12):
y z z x x y
x = 2 2 y = 2 2 z = 2 2
y 3 z 3 z 3 x 3 x 3 y 3
que sustituidas en la anterior:
y z z x x y
v ?( v ´ v ) =x 1 y 2 3 z 2 3 +y 1 z 2 3 x 2 3 +z 1 x 2 3 y 2 3
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que es lo mismo que:
x 1 y 1 z 1
v ?( v ´ v ) = x 2 y 2 z 2
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x 3 y 3 z 3
II – 17. Doble producto vectorial
Si tenemos tres vectores v , v y v y relacionamos v ´v nos dará un vector, que multi-
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plicado vectorialmente por v origina un nuevo vector, v ´(v ´v ), al que llamamos DO-
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BLE PRODUCTO VECTORIAL.
Esta operación goza de la propiedad:
v ´( v 2 ´ v ) =( v ? v ) v 2 v - ( 1 ? v ) v 3 (13)
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bien entendido que cada uno de los sumandos del segundo miembro son vectores. El valor (por
ejemplo) del vector del primer sumando es el producto del escalar v · v por el vector v (pro-
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ducto de un escalar por un vector).
Para la demostración de (13) vamos a basarnos en la propiedad del apartado II-5 en que
decíamos que un vector permanece invariable frente al sistema de coordenadas que elegimos, con
lo que la demostración no perderá generalidad. Si se toman tres vectores no coplanarios v , v y v 3 Fig. II-28.– Se eligen los ejes de coor-
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y colocamos los ejes de forma que el plano XY coincida con el plano en que están v y v y el eje denadas de la forma indicada en el
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X coincida en dirección y sentido con el vector v (Fig. II-28) entonces tendremos: esquema.
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