Page 24 - Fisica General Burbano

32 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

X = x¢ - x
«Si Y = y¢ - y escribiremos: AB =X +Y +Z »
Z = z¢ - z
PROBLEMA:1.

B) ÁLGEBRA VECTORIAL

Una vez establecido el criterio de igualdad de vectores, vamos a estudiar operaciones vectoria-
les referidas a vectores libres. Las conclusiones que se obtendrán son también aplicables a vectores
Fig. II-11.– Definición de suma de
vectores libres. deslizantes cuyas rectas soporte se cortan y a vectores ligados con el mismo punto de aplicación.
En los restantes casos, antes de generalizar las conclusiones, deberemos analizar detenidamente la
situación física correspondiente.

II – 6. Suma de vectores libres
Físicamente, sumar vectores, representantes de una misma magnitud, es hallar un tercer
vector de la misma naturaleza que produzca los mismos efectos que producirían los vecto-
res sumandos actuando simultáneamente.
La suma de dos vectores libres se define mediante la siguiente construcción gráfica: Sean los
vectores v =AB y v =CD (Fig. II-11), si desde el extremo del primero, B, trazamos el vector
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BE equipolente al segundo, definimos el vector suma como el que tiene por origen el primero, A,
y por extremo el del segundo, E.
Analíticamente la suma de vectores se realiza en función de sus componentes. Estudiamos el
caso sencillo de dos vectores en dos dimensiones. Si s =v +v , siendo v =x +y y v =x +
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Fig. II-12.– Suma de dos vectores co- +y , entonces s =x +y, donde:
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planarios en función de sus compo-
nentes. x = x + x 2
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y = y + y 2
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lo cual es evidente según se desprende de la Fig. II-12.
El resultado es generalizable a tres dimensiones: si s =v +v , siendo v =x +y +z y v =
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=x +y +z , entonces s =x +y +z, donde (Fig. II-13):
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x = x + x 2
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y = y + y 2
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z = z + z 2
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«Las componentes cartesianas del vector suma se obtienen sumando algebraicamente las
correspondientes componentes de los sumandos».
El módulo del vector suma será: MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
s = ( x + x ) 2 +( y 1 y + ) 2 z + ( 1 z+) 2
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y sus cosenos directores:
cos a =x/s, cos b =y/s y cos g =z/s.
Fig. II-13.– Suma de dos vectores en Es importante resaltar la diferencia existente entre las expresiones s =v +v y s =v +v .La
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función de sus componentes en tres primera expresa que el efecto físico que produce s es el mismo que el de v y v actuando a la vez.
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dimensiones. La segunda, referida a los módulos, sólo es cierta si ambos vectores sumandos son paralelos y del
mismo sentido.
Para expresar, en general, la relación existente entre el módulo del vector suma y los módulos
de los vectores sumandos, consideremos los vectores v y v de la Fig. II-14, que forman entre sí el
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ángulo j; de ella se obtiene las siguientes relaciones:
2 2 2 2
s = OB = OC + CB
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OC = OA + AC = v 1 + AC s = v 2 1 + v cos j + 2 v v cos j v + sen 2 j Þ
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AC = AB cos j = v cos j 2 v 2 2 v v cos j (2)
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CB = AB sen j = v sen j Þ s= v + 2 + 12
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CASOS PARTICULARES:
1.– En el caso de que los vectores tengan la misma dirección y sentido (Fig. II-15a) el ángulo es
cero y su coseno la unidad; por tanto:
Fig. II-14.– Para calcular el módulo
del vector suma en función de los v 2 v 2 +2 v v v ( v + ) 2
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módulos de los sumandos. s = 1 + 2 12 = 1 2 v= 1 v+