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30 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA
bién mediante la diferencia simbólica O¢ O. Sin embargo, en las figuras optamos por represen-
tarlos como normalmente se hace en un manuscrito o en la pizarra del aula, es decir, con la flecha
indicativa de vector sobre la letra que representa a la magnitud vectorial correspondiente.
II 3. Clasificación de los vectores. Criterios de igualdad
Los vectores pueden ser: LIBRES cuando se pueden trasladar paralelamente a sí mismos a un
punto origen arbitrario. (Ejemplo: el momento de un par de fuerzas). DESLIZANTES cuando se pue-
den trasladar a lo largo de su dirección, es decir, que además de su módulo, dirección y sentido, se
fija su recta de posición, y se puede tomar cualquier punto de ella como origen del vector. (Ejem-
plo: una fuerza); se llaman también CURSORES. LIGADOS cuando su punto de aplicación, su direc-
ción, y su sentido son fijos e invariables. (Ejemplo: la intensidad del campo gravitatorio, eléctrico o
magnético en un punto del espacio).
Dos vectores son EQUIPOLENTES cuando sus direcciones son paralelas y son iguales en mó-
Fig. II-2. Representación de un vec- dulo y sentido.
tor axial.
También los vectores pueden clasificarse en AXIALES y POLARES. Los vectores POLARES tienen
sentido propio inherente a su definición. Por ejemplo, la velocidad de un móvil, la fuerza aplicada
a un cuerpo, su aceleración, etc. Los vectores AXIALES (o PSEUDOVECTORES), no tienen sentido pro-
pio sino que necesitan de un convenio para precisarlo. Es el caso de la velocidad angular, del mo-
mento de una fuerza respecto de un punto, de la inducción magnética, etc. En el caso de la veloci-
dad angular de rotación el convenio que se establece para la representación de tal vector es que su
longitud represente el módulo o medida de la magnitud (en nuestro caso, número de radianes por
segundo, por ejemplo) que su dirección sea perpendicular al plano en que se verifica el giro (Fig.
II-2) y cuyo sentido sea el de avance de un sacacorchos que girase en el mismo sentido de la rota-
ción considerada.
Teniendo en cuenta la primera clasificación que hemos hecho, establecemos el siguiente CRITE-
RIO DE IGUALDAD de vectores: dos vectores libres son iguales si tienen los mismos módulos, dirección
y sentido (es decir cuando son equipolentes, Fig. II-3a); para que sean iguales dos vectores desli-
zantes han de pertenecer además a la misma recta soporte (Fig. II-3b); y en el caso de vectores li-
Fig. II-3. Criterios de igualdad de gados deben estar también aplicados en el mismo punto (Fig. II-3c), es decir, un vector ligado sólo
vectores.
puede ser igual a sí mismo.
II 4. Coordenadas cartesianas. Triedro trirrectángulo positivo
Para el estudio de cualquier fenómeno físico necesitamos un sistema de referencia, la forma
más simple empleada es el de coordenadas cartesianas ortogonales. Para establecer éste, la idea
esencial inventada por René Descartes (1596-1650), es la identificación del conjunto de los puntos
que componen una línea recta, que llamaremos X, con la totalidad de los números reales; defi-
niendo sobre ella un «origen» O que divide a la recta en dos semirrectas a las que daremos el sig-
no positivo y negativo (Fig. II-4).
Si convenimos en llamar «unidad» a la longitud del segmento OA y consideramos al segmento MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
OP, también sobre la semirrecta positiva, entonces al punto P le asociamos el número real:
x =OP/OA; decimos entonces que «x es la coordenada del punto P». La coordenada de un punto
Q situado en la semirrecta negativa, le corresponde el número real: x =OQ/OA.
Fig. II-4. Correspondencia entre los Esta asociación del conjunto de los puntos X con el conjunto de los números reales consti-
puntos de una recta y los números
reales. tuye un SISTEMA COORDENADO DEL ESPACIO UNIDIMENSIONAL formado por los puntos de X.
Obsérvese que a cada punto de la recta X le corresponde uno y sólo uno de los números rea-
les, y recíprocamente.
Un paso más adelante es establecer una relación entre los puntos del plano y el conjunto de los
números reales, para lo cual se toman dos rectas X e Y que se cortan ortogonalmente en un punto
O, y cuyos sentidos positivos indicamos en la Fig. II-5. Un par de tales rectas con unidades de lon-
gitud OA y OB forman los que llamamos EJES CARTESIANOS ORTOGONALES*. A cada punto P del pla-
no le asociamos una pareja ordenada de números reales (x, y); x corresponde al número real aso-
ciado al punto M tal y como dijimos anteriormente; el punto M se obtiene trazando la recta para-
lela al eje Y por P, y es el punto de corte entre ésta y el eje X. La recta paralela al eje X trazada por
P corta en N al eje Y, a N le corresponde el número real y.
El par ordenado de números (x, y) son las coordenadas de P en el plano y la correspon-
dencia biunívoca de parejas ordenadas de números con el conjunto de puntos del plano XY
es el SISTEMA COORDENADO ORTOGONAL DEL ESPACIO BIDIMENSIONAL constituido por los puntos
del plano.
Si consideramos a una partícula moviéndose en el plano XY en trayectoria circular, como se
Fig. II-5. Localización de un punto indica en la Fig. II-5, observamos que son dos los posibles sentidos de rotación, convenimos en
en un sistema cartesiano bidimensio-
nal. Convenio de sentido positivo en
la rotación. * Si no se cortan ortogonalmente, al sistema se le llama CARTESIANO OBLICUO.
