Page 50 - Fisica General Burbano

58 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

sen (w t + ) j =0 a =0
x =0 Þ
cos (w t + ) j = ±1 v =± Aw
sen (w t + ) j = ±1 a =m Aw 2
x =± A Þ
cos (w t + ) j =0 v =0
Las Figs. III-22 y 23 son las representaciones gráficas de las ecuaciones horarias del MAS y
las de la velocidad y aceleración en función de la posición.
No solamente una partícula puede oscilar alrededor de un punto y su posición ser una
función armónica del tiempo; un campo eléctrico, un campo magnético, la presión de un gas,
etc., pueden experimentar variaciones que obedecen a la fórmula:
y(t) =y sen (wt +j)
0
y: el valor de la magnitud en el instante considerado y en el punto donde existe
la variación de ella.
y : el valor máximo de y.
0
wt +j y j: tienen el mismo significado que el dado anteriormente.
Si la magnitud al variar armónicamente sólo puede tomar valores positivos; la ecuación
que las determina es:
y =x +y sen (wt +j)
0
0
en nuestro caso x >y . La representación gráfica de tales funciones es la de la Fig. III-24.
0
0
Los valores máximo y mínimo de y son: y =x +y y y =x – y .
0
M
0
m
0
0
PROBLEMAS: 65 al 78.
III – 17. Composición de movimientos vibratorios armónicos de la misma
dirección y frecuencia. Construcción de Fresnel
Queremos demostrar que producen un MAS de la misma frecuencia.
Fig. III-22.– Representación gráfica En efecto, sean las ecuaciones de los movimientos:
de las leyes horarias de un MAS de la
partícula, frente a t. La línea de pun- x =A sen (wt +j ) x =A sen (wt +j )
1
1
1
2
2
2
tos correspondería al eje OX para el hemos puesto la misma w, puesto que al tener los dos movimientos la misma frecuencia tienen la
caso en que la partícula en t =0 se
encontrara en P (Fig. a) y movién- misma frecuencia angular ya que su valor es: w =2pn; desarrollando las ecuaciones y sumando
0
dose hacia O (p/2 <j <p); para este miembro a miembro obtenemos el desplazamiento resultante:
caso obsérvese que x >0, v <0 y x =x +x =A sen wt cos j +A cos wt sen j +A sen wt cos j +A cos wt sen j
0
0
a <0. 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2
0
Þ x =sen wt (A cos j +A cos j ) +cos wt (A sen j +A sen j ) (16)
2
1
2
2
1
1
1
2
Existen dos números A y j que cumplen las condiciones:
A sen j =A sen j +A sen j 2 (17) MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
1
1
2
A cos j =A cos j +A cos j 2
1
2
1
números que podemos calcular, ya que por cociente de las anteriores, obtenemos:
A sen j + A sen j
tg j = 1 1 2 2 (18)
A cos j + A cos j 2
2
1
1
y elevando al cuadrado las ecuaciones (17) y sumándolas:
2 2 2 2 2 2
)
A (sen j + cos j = A (sen j 1 + cos j 1 ) +
1
2
2
2
+ A (sen j 2 +cos j 2 ) + A A2 1 2 (sen j 1 sen j 2 +cos j 1 cos j 2 )
2
luego:
2 2 2
A = A 1 + A 2 + 2 A A cos (j 1 - )j 2 (19)
1
2
Sustituyendo los valores (17) en (16) se tiene:
t
x = A sen w cos j + A cos w t sen j Þ x = A sen w( t +j)
ecuación de un movimiento vibratorio armónico de la misma frecuencia angular w que los
componentes y, por lo tanto, la misma frecuencia n.
Por tanto la composición de n movimientos vibratorios armónicos de la misma dirección
Fig. III-23.– Gráficas de la velocidad y de la y frecuencia, siendo la ecuación de uno cualquiera:
aceleración de un MAS de la partícula frente
a x (0 <j <p/2) x =A sen (wt +j ) (i =1, 2, ..., n)
i
i
i