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ENERGÍA EN LOS OSCILADORES. RESONANCIA 159

puede llegar a valores muy grandes. Las curvas restantes corresponden a amplitudes de vibracio-
nes forzadas en casos de amortiguamiento creciente.
Un aspecto más interesante de los fenómenos de resonancia (y al que se hace referencia cuan-
do se dice resonancia simplemente sin especificar más) es la resonancia en la velocidad o en la
energía, que se refiere a la energía que la fuerza impulsora externa transfiere al oscilador.
«Un sistema entra en RESONANCIA EN LA ENERGÍA (o EN LA VELOCIDAD) cuando para un deter-
minado valor de la frecuencia la transferencia de energía de la fuerza externa al oscilador es
máxima».
Calculamos la energía absorbida por el oscilador a través de la potencia, que se puede obtener
como el producto de la fuerza periódica impulsora por la velocidad de oscilador; su valor varía de
un instante a otro, de forma que a efectos prácticos solamente interesa su valor medio. Lo calcula-
mos en un período:

F = F cos w t FA w c
0
x = A cos(w t - )j P = Fv = - F A wc os t w sen (w t -)j Þ P = - 0 2 os j sen2 w t F A+ 0 wsen j cos 2 t w
0
v =- Aw sen (w t - )j
Teniendo en cuenta que en un período:
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1 z T
<sen 2wt > = sen 2wtdt =0
T 0 < P 1 F A
1 z T 1 Þ > = 2 0 w sen j
2
<cos 2 wt > = cos wtdt =
T 0 2
Para obtener el valor máximo de <P> cuando varía w, derivamos <P> respecto de w e igua-
lamos a cero la derivada; sustituyendo A por su valor y sen j por su expresión en función de tg j.
2
Se llega a: (w - w 2 )( w2 2 + ) 1 = 0 , cuya solución válida es: w = w 0 . En consecuencia:
0
«Existe resonancia en la energía cuando la frecuencia de la fuerza periódica externa coinci-
de con la frecuencia del oscilador libre».
En tales circunstancias el ángulo j en la expresión de v vale:

Rw 0 p
tg j = 2 =+ ¥ Þ j = rad
K - mw 0 2
F I
p
K
y la expresión de la velocidad queda: v =- Aw sen H G w t - J = Aw cos t w
2
w F
es decir, la fuerza y la velocidad están en fase; además: Aw = 0
2
2 2
)
( Rw +( K - mw )
2
y la velocidad se hace máxima, RESONANCIA EN LA VELOCIDAD, cuando K – mw =0, es decir:
w = Km/ = w 0
Hay casos en los que hay que tomar medidas para impedir que se produzca la resonancia, así
por ejemplo, en los cuerpos elásticos tales como puentes, chasis de motores, cascos de embarca-
ciones... que son sistemas oscilantes y tienen frecuencias propias de oscilación. Un conjunto de
soldados, que marchan llevando el paso sobre un puente, pueden hacer que éste vibre con una
amplitud muy grande cuando la frecuencia de sus pasos coincida con la propia de la estructura del
puente, sobrepasado el límite elástico puede ocurrir que éste se derrumbe. Cuando un motor está
funcionando, puede ocurrir que aparezcan esfuerzos periódicos debidos al movimiento de las par-
tes del motor (émbolos, ejes defectuosos, centrados defectuosos de alguna de sus piezas girato-
rias), pudiéndose producir resonancia cuando la frecuencia de estos esfuerzos coincida con la fre-
cuencia propia de su chasis o alguna de sus partes, y la amplitud de las oscilaciones pueden crecer
tanto que ocasionen la ruptura de la máquina.
Existen otros casos en los que se busca la resonancia, así por ejemplo, cuando es aprovechado
este fenómeno por todas las estaciones radioemisoras que producen oscilaciones forzadas en el
circuito receptor, en el que a cada posición del sintonizador le corresponde una frecuencia propia.
Cuando la frecuencia propia del circuito receptor coincide con la frecuencia de la radioemisora, la
energía absorbida es máxima y por ello es la única estación que podemos oír.
PROBLEMAS: 100 al 105.