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156 TRABAJO Y ENERGÍA. TEORÍA DE CAMPOS. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

Siendo la fuerza que actúa sobre la partícula en un MAS conservativa T +U =cte; para este
caso y empleando (7) y (8) se llega a la misma conclusión, en efecto.
LA ENERGÍA TOTAL, suma de la cinética y la potencial es, en cualquier punto del trayecto:

1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2
E = T + U = mA w cos ( w t +j) + mA w sen ( t w + j) Û E = mA w cte= c.q.d.
2 2 2
En la Fig. VII-25 representamos las energías cinética y potencial (en ordenadas) con el tiempo
(en abscisas), en donde se ha tomado j =0. Obsérvese que tanto T como U son positivos, su
2
suma en cualquier instante es constante igual a mA w /2, y varían periódicamente con doble fre-
2
cuencia que la elongación, es decir, en cada período hay dos transformaciones completas de
energía cinética en potencial y viceversa.
En la Fig. VII-26 representamos la función energía potencial U y cinética T en función de la
elongación, para una partícula de masa m que posee un MAS. La energía total E la representamos
por una línea horizontal. En los puntos de retorno x =Ayx =–A, la partícula se detiene e in-
vierte su movimiento.
Se llama INTENSIDAD del MAS a la energía cinética media en un período.
I =<E >
c
Fig. VII-25.– Representación gráfica (en la que E es la energía cinética, a la que no llamamos T en esta ocasión para no confundirla
c
de las energías cinética y potencial con el período). Se calcula mediante la expresión:
con el tiempo para un MAS.
Tz T
1
I =< E c >= 0 Edt
c
o más sencillamente, de la Fig. VII-26, teniendo en cuenta que los valores medios de
E y U son iguales y su suma igual a la energía total E =cte:
c
1 1
2
<E > = <U > = E < > Þ I =mA w 2
c
2 4
y resulta proporcional a w y A . Estos valores promedios de las energías resultan de
2
2
gran interés, puesto que en los fenómenos físicos atómicos las frecuencias son tan al-
tas que el tiempo que invertimos en una medida es muchas veces mayor que el
período T.
PROBLEMAS:84 al 92.
VII – 28. Péndulo matemático o simple
Fig. VII-26.– Representación gráfica de la energía
potencial U y cinética T en función de la elonga- PÉNDULO MATEMÁTICO es un punto material que oscila suspendido en un hilo inextensi- MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
ción x, para una partícula de masa m que tiene ble y sin peso.
un MAS. El péndulo matemático o simple es puramente ideal, por no poderse cumplir exac-
tamente las condiciones de su definición.
Apartamos la partícula m de su posición de equilibrio (Fig. VII-27) y vuelve a ella,
por la tendencia de los cuerpos a adquirir la mínima energía potencial. Rebasa la posi-
ción A, por inercia (tendencia a seguir con el movimiento adquirido), y llega a una posición C, a la
misma altura que la B, de la que partió, puesto que la energía potencial en B con respecto a un
plano horizontal que pasa por A (mgh), se ha transformado en cinética en A (mv /2), y ésta, a su
2
vez, en potencial en C (mgh¢); siendo las tres iguales (T +U =T +U =T +U ÙT =T =U =
A
B
C
A
C
B
A
C
B
0) se verifica:
1 2
mgh = mv = mgh¢ Þ h= h¢
2
Por las mismas causas, de C pasa a A y luego a B. Si no existiera rozamiento, el movimiento os-
cilatorio continuaría indefinidamente.
La fuerza que actúa sobre la partícula es su peso, al que podemos considerar descompuesto en
dos fuerzas: una F¢en la dirección del hilo, al que mantiene tirante y que es anulada por la reac-
ción del punto fijo; y la F, tangente a la trayectoria, productora del movimiento, y cuyo valor es:
F =– mg sen q, siendo q igual al ángulo que forma el hilo con la vertical. El signo menos indica
que la fuerza es de sentido contrario al desplazamiento angular. La fuerza F es, pues, variable, de-
pendiendo de los diversos valores de q, el movimiento, en consecuencia, es de aceleración varia-
ble con el tiempo.
Considerando ángulos pequeños, podemos escribir la fórmula de la fuerza productora del movi-
miento: F =– mg q, confundiendo el seno con el ángulo expresado en radianes. Pero siendo: q =x/l
obtenemos por sustitución: