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ENERGÍAS CINÉTICA Y POTENCIAL GRAVITATORIA 151

expresión que podemos generalizar poniendo:

E = T + U = cte (5)
que expresa la LEY DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA DE UNA PARTÍCULA EN UN CAMPO CONSERVATIVO. La
magnitud E, suma de la energía cinética más la potencial la llamaremos ENERGÍA MECÁNICA TOTAL DE
LA PARTÍCULA en un campo conservativo.
Para una partícula en su «vuelo» en el campo gravitatorio terrestre (Fig. VII-21), en puntos pró-
ximos a su superficie (h n R ), la cual tomamos de energía potencial nula pudiendo considerarla
0
como plana, se conservará la energía mecánica total de la partícula, pudiéndose escribir:
1 2 1 2
mgh
T + U 1 = T 2 + U 2 Û mv 1 + mgh 1 = mv 2 + 2
1
2 2 Fig. VII-21.– Movimiento de una
partícula de masa m en el interior del
Para el caso del lanzamiento vertical y hacia arriba de una partícula de masa m con velocidad campo gravitatorio terrestre y en
v , los valores de su energía cinética y potencial en función del tiempo, serán: puntos próximos a su superficie, que
0
tomamos de energía potencial cero
1 1 F 1 I pudiendo considerarla como plana.
2
2
H
T = Mv = M v( 0 - gt) 2 U = Mg h v t+ 0 - gt J K
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
Mgh = G 0
2 2 2
y su energía mecánica total: E =T +U. El diagrama de estas energías en función del tiempo es el
representado en la Fig. VII-22 en la que observamos que: 1) Cuando el cuerpo está subiendo, su
velocidad disminuye y también su energía cinética; simultáneamente aumenta su energía poten-
cial. La energía cinética se hace cero en la cúspide de la trayectoria; en tal momento la energía po-
tencial es máxima. 2) La energía potencial no es cero al principio porque se ha tomado el punto
de lanzamiento a determinada altura (h ) sobre el nivel que arbitrariamente tomamos como cero.
0
3) Cuando el cuerpo cae, su energía potencial para un determinado instante, se anula y, a partir
de él, se hace negativa, mientras que la energía cinética aumenta por encima de la energía total.
Este teorema de conservación de la energía mecánica es un caso particular del que llamaremos
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA que enunciaremos en párrafos siguientes, y como tal
principio, sólo es verificable por la experiencia, siendo éste uno de los hechos más notables de la
Física.
PROBLEMAS:40 al 53. Fig. VII-22.– Diagrama en función
del tiempo de las energías cinética,
VII – 22. Gráficas de energía potencial potencial y total del lanzamiento ver-
tical y hacia arriba de una partícula
El conocimiento de la energía potencial de un cuerpo en un campo de fuerzas conservativo, con velocidad inicial v .
nos permite en muchos casos obtener de forma sencilla la ecuación de movimiento del cuerpo y, 0
en consecuencia, toda la información dinámica que nos pueda interesar. Efectivamente; suponga-
mos una partícula de masa m con una trayectoria que, por simplificar, consideraremos recta (mo-
vimiento unidimensional). La energía potencial será una función del tipo U (x), y si la única fuerza
que actúa sobre m es la del campo, llamando E a la energía total de la partícula, tendremos:

1 2 dx 2
E = mv + U x =() cte Þ v = = E U x() (6)
-
2 dt m
Separando variables e integrando:
2 z dx = dt = t
x z t
U x
x 0 E - () 0
m
de donde podemos obtener x(t) y tener resuelto el problema.
Existen, sin embargo, casos en que la integral del primer miembro es difícil de resolver. Enton-
ces, aún es posible obtener información abundante del movimiento de la partícula, a partir de la
gráfica de la energía potencial*. Representemos en un sistema de coordenadas la posición en el
eje de abscisas y la energía en el de ordenadas, y supongamos que la gráfica de U (x) es la de la
Fig. VII-23.
Podemos en primer lugar averiguar en qué zonas, la partícula, tendrá aceleración positiva (sen-
tido de x crecientes), negativa o nula. En efecto: la relación F =–ÑÑU, en el caso unidimensional
se escribe:
dU
F =-
dx
es decir:

* Y aunque se pueda hacer la integral, el diagrama U(x) es siempre de gran utilidad en el estudio dinámico de la partícula.