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148 TRABAJO Y ENERGÍA. TEORÍA DE CAMPOS. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

En la vuelta, por el camino N, se realiza un trabajo de signo contrario al
anterior, cuyo valor será:
dW =F · dr =– F proy dr =– F dr
2
F
2
Sumando todos los trabajos elementales en toda la vuelta obtenemos:
zz 1 z
2
W 1 2 M + W 2 1 N = F ? dr + F ? dr 0 = Þ C F ? dr 0 =
N
2
M
1
al verificarse esta ecuación, queda demostrado el teorema enunciado. Conse-
cuencia de esto es que podemos aplicar a estos campos de fuerzas centrales
las fórmulas y conceptos del párrafo anterior. En este caso de fuerzas centra-
les se incluyen las fuerzas gravitatorias, electrostáticas y de recuperación elás-
tica.
VII – 18. Expresión del teorema de Gauss para campos centrales
Fig. VII-15.– Un campo de fuerzas centrales con simetría newtonianos
esférica para los módulos de las fuerzas es conservativo.
«Llamamos CAMPOS CENTRALES NEWTONIANOS a los campos centrales
cuya intensidad varía con la inversa del cuadrado de la distancia al
2
centro (1/r )».
C
Es decir,tienen la forma: E = r
r 3

En cada caso particular quedarán explicitadas en C las «FUENTES DEL CAM-
PO» (masas en el campo gravitatorio o cargas en el eléctrico).
Para formular el teorema de Gauss en estos casos recordaremos, en prin-
cipio, el concepto de ÁNGULO SÓLIDO*: si tenemos un elemento de superficie,
Fig. VII-16.– Concepto de ángulo sólido. dA, y un punto P a distancia r de ella, como en la Fig. VII-16, se llama ángu-
lo sólido elemental, d w, a la abertura espacial delimitada por los rayos que
partiendo de P contornean d A, y se expresa como el cociente del área nor-
mal a r dividida por el cuadrado de la distancia, es decir:

dA cos j
dw = 2
r
Si dA pertenece a una esfera, A, de radio R, centrada en P (Fig. VII-17),
el ángulo j es cero y el ángulo sólido abarcado por toda la esfera es:

1 z 4 pR 2 MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
w = 2 dA = 2 = 4 p
R A R
Este valor es el máximo posible para un ángulo sólido y coincide con el
Fig. VII-17.– El ángulo sólido abarcado por toda la
esfera A es 4p, valor que es el máximo posible para subtendido por cualquier superficie cerrada A¢que contenga al punto P,
un ángulo sólido, y coincide con el subtendido por pues, como se aprecia en la Fig. VII-17, el ángulo sólido abarcado por dA es
cualquier superficie cerrada A¢que contenga al pun- el mismo que el abarcado por dA¢.
to P. Calculemos en primer lugar el flujo a través de una superficie cerrada del
vector campo creado por una fuente puntual exterior a dicha superficie. Si te-
nemos una fuente puntual e (Fig. VII-18) cualquier «pincel» de rayos de án-
gulo sólido d w que corte a A lo hará un número par de veces. El flujo a
través de dA es entrante, negativo por ser cos j < 0, y a través de dA¢sa-
liente, positivo por ser cos j¢> 0. La relación entre las áreas enfrentadas a e
es:
dA¢ cos j ¢ r¢ 2
= 2
dA cos j r
por ser dichas áreas proporcionales al cuadrado de su distancia a e. La rela-
ción entre las correspondientes intensidades de campo es:
E ¢ Cr/ ¢ 2 r 2
E = Cr/ 2 = r ¢ 2
y la relación entre los valores absolutos de ambos flujos:
Fig. VII-18.– El flujo total del vector campo creado por
una «fuente» exterior puntual e a través de la superficie ce-
rrada A es nulo. * Capítulo I párrafos 10 y 14.