Page 136 - Fisica General Burbano

TEORÍA DE CAMPOS 145

Hemos visto de esta manera que el vector ROTACIONAL nos permite caracterizar aquellos puntos
del campo vectorial en que éste «gira» y se «traslada» en un desplazamiento infinitesimal; nos da el
valor de lo que llamaremos «FUENTES VECTORIALES» del campo en dicho punto.
El valor analítico del vector rotacional viene dado por:
i j k
+G
i J
¶ ¶ ¶ = G F ¶E ¶E y I F ¶E ¶E I F ¶E y ¶E I k J
j J G
rotE =ÑÑ ´ E = z - x - z + - x
¶x ¶y ¶z H ¶y ¶z K H ¶z ¶x K H ¶x ¶y K
E x E y E z
Una de las propiedades de este operador es que «El rotacional del gradiente de un campo es-
calar es siempre cero».
rot grad( a) =0

En efecto
i j k
+ G J - G JP M
+ G J - G JP
¶ ¶ ¶ L ¶ ¶ a F I ¶ ¶ a F IO L ¶ ¶ a F I ¶ ¶ a F IO L ¶ ¶ a F I ¶ ¶ a F IO
M
zK
i
yK
rot(grad a) = = G J - G JP M xK zK j yK xK k
¶ x ¶ y z ¶ N ¶ y H ¶ ¶ z H ¶ Q N ¶ z H ¶ ¶ x H ¶ Q N ¶ x H ¶ ¶ y H ¶ Q
¶ a ¶ a ¶ a
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¶ x ¶ y z ¶
pero:
¶ F ¶aI ¶ F ¶aI ¶ F ¶aI ¶ F ¶aI ¶ F ¶aI ¶ F ¶aI
¶xK
¶zK
¶xK
¶zK
¶x H
¶y H
¶y H G J = G J ¶z H G J = G J ¶x H G J = G J
¶yK
¶yK
¶z H
ya que la derivación parcial respecto de una variable deja inalterada la forma de la dependencia
funcional del campo con las otras variables. Según esto, las tres componentes anteriores son nulas,
quedando demostrada la propiedad enunciada.
Si una función vectorial tiene rotacional nulo, se dice que es IRROTACIONAL. El gradiente de
un campo escalar es un campo vectorial irrotacional.
VII – 13. Teorema de Stokes
El teorema matemático que nos relaciona la integral de línea con la integral de superficie que
contiene a dicha línea es:
z C E ? d = z A rot E ? d A
r
«La integral a lo largo de una línea cerrada de un vector, es igual a la integral de superficie
del producto escalar del rotacional del vector por la superficie limitada por la curva»; o di-
cho de otra forma: «La circulación de un vector a lo largo de una curva cerrada es igual al
flujo de su rotacional a través de cualquier superficie limitada por la curva».
La deducción de este teorema, que se hace a partir de la definición dada para el operador ro-
tacional, se sale de los límites de esta exposición elemental.

VII – 14. Campos conservativos (o campos de potencial)
«Un campo vectorial es conservativo cuando el vector que lo caracteriza E(x, y, z) puede
ser obtenido por el gradiente de una magnitud escalar a(x, y, z)».
Por lo tanto, si E es conservativo:

rotE = rot grad( ) a Þ rot E =0
«Un campo conservativo es irrotacional».
Vamos a obtener otras expresiones que nos permiten reconocer a los campos conservativos.
Supongamos que en una región del espacio existe un campo escalar; si calculamos en cada
punto el vector grad a, que lo hemos llamado intensidad del campo y a el potencial, obtenemos
un campo vectorial:

E = grada
La circulación del vector E a lo largo de una curva C vendrá dada por:
zz C a ? r d

E ? d = grad
r
C