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TEORÍA DE CAMPOS 141

Este sencillo ejemplo es extensible a gravitación y a otros diversos estudios de variada compli-
cación; sugiere dividir la teoría de campos en dos partes, una nos lleva a analizar qué produce el
campo y nos hace estudiar las leyes que determinan la «intensidad» del campo y cómo se crea; la
segunda nos dice que algo es influenciado por el campo, así por ejemplo la presencia de una masa
en el interior de un campo gravitacional nos conducen a las ecuaciones del movimiento de tal
masa.
VII – 5. Campos escalares. Representación
«Si en cada uno de los puntos de una región del espacio una magnitud física de carácter es-
calar presenta diversos valores, diremos que en esa región existe un CAMPO ESCALAR».
La magnitud escalar (a) en un punto, tendrá un valor función de las coordenadas de este y del
tiempo:
a = a x y z t(, , , )

Si la magnitud escalar es constante con el tiempo el campo escalar se llama ESTACIONARIO; y por
tanto:
a = a x y z(, , )
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Un campo escalar, puede representarse de forma intuitiva por las SUPER-
FICIES DE NIVEL: superficies que son el lugar geométrico de los puntos en los
cuales el escalar a, tiene un valor constante: a =a (x, y, z) =cte. La mayor o
menor proximidad de las superficies de nivel da una idea de las variaciones
de la magnitud campo.
La representación gráfica de los campos escalares se realiza utilizando el
método de los planos acotados o LÍNEAS DE NIVEL. Los puntos del plano de
referencia en que la función escalar tiene un valor constante se unen me-
diante una línea continua. El resultado es un haz de líneas de nivel (o curvas
de nivel) (Fig. VII-8). Estas líneas se representan generalmente para una su-
cesión de valores discretos de la función escalar. Cada uno de esos valores se
llama COTA.
Así por ejemplo, en los mapas de estudio del tiempo, las líneas isobaras
(presión constante), intersección de las superficies isobaras con la superficie
del mar, se trazan con intervalos de 4 mb.
Fig. VII-8.– Una magnitud a viene representada por el haz de
VII – 6. Vector gradiente. Propiedades
curvas de nivel a , a , ...
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Debemos definir con precisión y en términos analíticos las variaciones
que sufre la magnitud campo escalar estacionario al desplazarnos de un pun-
to P de coordenadas (x, y, z) a otro P¢infinitamente próximo de coordenadas (x +dx, y +dy, z +
dz) (Fig. VII-9); la expresión matemática de esta variación viene dada por:
a ¶ a ¶ a ¶
da = dx + dy + dz (2)
x ¶ y ¶ z ¶
en la que se ha introducido el concepto de DERIVADA PARCIAL (¶a/¶t). Cuya definición es:

«Sea la función escalar dependiente de las coordenadas del punto: a =a (x, y, z) (campo es-
calar estacionario); llamaremos DERIVADA PARCIAL de a con respecto a una de las tres varia-
bles, al resultado de derivar la función a con respecto a esta variable considerando las otras
dos como constantes».
¶a F daI ¶a F daI ¶a F daI Fig. VII-9.– Variación de la magnitud
=G J
=G J
=G J
¶x H dxK y z =, cte. ¶y H dyK x z =, cte. ¶z H dzK x y =, cte. campo escolar.
La expresión (2) la podemos escribir de otra forma si definimos el VECTOR GRADIENTE como:
a ¶ a ¶ a ¶
grad a = i + j + k
x ¶ y ¶ z ¶

vector cuyos componentes son las respectivas derivadas parciales del campo escalar: grad a =
x
¶a/¶x, grad a =¶a/¶y, grad a =¶a/¶z.
z
y
Llamando dr al vector que une los puntos P y P¢, cuya expresión es dr =dx i +dy j +dz k, y
proyectando el gradiente en esa dirección, obtenemos:
¶ a ¶ a ¶ a
grad ad? r = dx + dy + dz Þ da = d ?r grad a (3)
¶ x ¶ y z ¶