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142 TRABAJO Y ENERGÍA. TEORÍA DE CAMPOS. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

con lo que «la variación del campo en una dirección cualquiera viene caracterizada por la compo-
nente del gradiente en esa dirección», o dicho de otra forma, «en un punto, la componente del gra-
diente en una dirección es igual a la DERIVADA DIRECCIONAL correspondiente del campo escalar».
La expresión:
¶ ¶ ¶ k
¶x i + ¶y j + ¶z
se simplifica mediante el símbolo ÑÑ, y se llama «OPERADOR* NABLA». Así, la aplicación del operador
nabla a un campo escalar nos da el gradiente de dicho campo:

Ñ Ña =G F ¶ i + ¶ j + ¶ k I a J = ¶ a i + ¶ a j + ¶ a k º grad a
x H ¶ ¶ y ¶ z K ¶ x ¶ y z ¶
PROPIEDADES:
Si nos movemos en una superficie de nivel, al ser da =0, la (3) nos determina: dr · grad a =0,
y para que esta expresión se cumpla siempre, es necesario que dr y grad a, sean perpendiculares
y como dr está situado sobre una superficie de nivel:
«El vector gradiente es perpendicular a las superficies de nivel».

La expresión (3) nos indica también que para que exista una máxima variación del campo,
para un valor fijo de |dr|, el coseno del ángulo formado por dr y grad a, debe ser 1 y el ángu-
lo que forman dichos vectores nulo:
«El gradiente tiene la dirección de la máxima variación del campo y va en sentido de los va-
lores crecientes de a».

VII – 7. Campos vectoriales. Potencial de un campo vectorial.
Intensidad del campo
«Si en cada uno de los puntos de una región del espacio, una magnitud física de carácter
vectorial presenta diversos valores, diremos que en esa región existe un CAMPO VECTORIAL».
La magnitud vectorial E en un punto, tendrá un valor función de las coordenadas de éste y del
tiempo:
E =E (x, y, z, t) =E (r, t)
Las tres componentes del vector campo serán funciones de las coordenadas del punto conside-
rando y del tiempo: E =E (x, y, z, t), E =E (x, y, z, t), E =E (x, y, z, t).
z
z
y
x
x
y
Si el vector campo no varía con el tiempo diremos que se trata de un campo ESTACIONARIO, en
cuyo caso E es sólo función de las coordenadas del punto: E (x, y, z).
Según lo visto anteriormente, a cada punto de un campo escalar le podemos asociar un vector
gradiente del campo en ese punto; es decir, el campo escalar tiene asociado un campo vectorial. Al
primero lo llamaremos «POTENCIAL» (V) de este último.
E =-grad V =-V= MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
Se puede dar una idea del campo vectorial por las LÍNEAS DE CAMPO: curvas tangentes al vector
campo en todos sus puntos. En consecuencia: Si dr es un elemento de línea de campo, entonces:
E ´d r = 0

Si la propiedad del campo vectorial que se manifiesta en cada uno de sus puntos, es una fuer-
za que actúa sobre un determinado sistema físico, existe en el espacio que consideramos un CAMPO
DE FUERZAS. A las líneas de campo se les denomina LÍNEAS DE FUERZA.
En los campos de fuerzas ocurre que al colocar un cuerpo en una determinada región del es-
pacio, sobre él actúa una fuerza debida a una propiedad inherente que lo caracteriza, siendo esta
propiedad de la misma naturaleza que el cuerpo o cuerpos que crean el campo. El valor de la fuer-
za en cada punto dependerá de las coordenadas del punto (distancia al agente) y de la MAGNITUD
ESCALAR TESTIGO (o MAGNITUD ESCALAR ACTIVA); por consiguiente:
F
F =e E Þ E =
e
siendo F la fuerza que actúa sobre la cantidad e de magnitud escalar testigo, entonces E es lo que
llamaremos INTENSIDAD DEL CAMPO, es decir: «la fuerza por unidad de magnitud escalar testigo».
(Por ejemplo: la Tierra crea un campo de fuerzas a su alrededor; colocando una masa m en un
Fig. VII-10.– El vector gradiente del punto de ese espacio experimenta una fuerza F =mg, donde g es la intensidad del campo gravi-
campo escalar a(x, y, z) es siempre tatorio en el punto en que se encuentre m).
perpendicular a las superficies de ni-
vel e indica la dirección según la cual
dicha magnitud varía con la máxima * Se llama operador a todo ente físico o matemático capaz de realizar una transformación. Por ejemplo: +, ´, In, ,
rapidez. d/dx, ÑÑ, ...