Page 138 - Fisica General Burbano

TEORÍA DE CAMPOS 147

z 2
2
W = 1 F ? d =r Ux y z( 11 1 ) - Ux y z( 2 2 2 ) U = r( ) U - r( )
2
1
1
Obsérvese que escribimos U – U y no U – U , es decir:
1
2
1
2
«La energía potencial es una función de punto tal que la diferencia entre sus valores en las
posiciones inicial y final es igual al trabajo realizado sobre la partícula, por la fuerza conser-
vativa del campo, para moverla de su posición inicial a la final»; o lo que es lo mismo: «En
un desplazamiento de la partícula entre dos posiciones, el incremento de su energía poten-
cial es igual a menos el trabajo realizado por la fuerza conservativa».
La expresión diferencial de la anterior es:
dW = F ? d = -r dU

que aplicada a una dimensión se escribirá:
dU
dU =- Fdx Þ F = -
dx
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fórmula que nos da la variación de energía potencial por unidad de longitud. Si queremos escribir
esta ecuación en tres dimensiones, tenemos que recurrir a la notación de derivadas parciales y
será:
¶U ¶U ¶U
F =- i - j - k =- grad U
¶ x ¶y ¶z
Es de resaltar que hemos definido la energía potencial a partir de su incremento entre dos po-
siciones. Si queremos asignarle un valor específico a la energía potencial de una partícula en un
punto determinado, deberemos fijar un punto de referencia, al que asignaremos el valor cero de
energía potencial, y referir la de los demás puntos a éste.
La elección práctica más cómoda del punto de referencia depende de la expresión analítica de
la fuerza conservativa de que se trate en cada caso.

VII – 16. Potencial en un punto de un campo conservativo. Relación entre el
potencial y la intensidad de campo

Una característica importante de la energía potencial es que, en cada punto, depende de la
partícula a la que se la medimos. Dos partículas con distinta cantidad de magnitud escalar, e y e¢
(masa en los campos gravitatorios o carga en los eléctricos), requieren trabajos distintos para ser
transportadas entre las mismas posiciones inicial y final.
La energía potencial no tiene un valor único en un punto, y no nos sirve por tanto para carac-
terizar unívocamente el campo conservativo. Este hecho se solventa con la introducción de una
nueva magnitud física:
«El POTENCIAL (V) en cada punto de un campo conservativo es, por definición, la energía
potencial de la unidad de magnitud escalar».

Ux y z(, , )
Vx y z(, , ) =
e
con lo que cada punto P (x, y, z) posee un único valor del potencial.
Esta magnitud verifica una importante relación: por ser F =eE y F =– grad U tendremos:
F -grad U E= -grad V
e = e Þ
«La intensidad de campo es, con signo cambiado, igual al gradiente de potencial».

VII – 17. Campos de fuerzas centrales
Un caso particularmente importante de fuerzas conservativas es el de las fuerzas centrales cu-
yos módulos son los mismos si están aplicadas en puntos equidistantes del centro. Vamos a demos-
trar que, con esta condición, un campo de fuerzas centrales es conservativo.
Supongamos que movemos una partícula del punto 1 al 2, a lo largo de un camino M (Fig.
VII-15), y luego volvemos a 1 por una trayectoria diferente N, en el interior de un campo de fuer-
zas centrales; al recorrer la partícula el camino intermedio dr , comprendido entre dos arcos de cir-
1
cunferencia centrados en O y de radios r y r +dr, cuando pasa de 1 a 2 por M, el trabajo realizado
será:
dW =F · dr =F proy dr =F dr
1
1
F