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146 TRABAJO Y ENERGÍA. TEORÍA DE CAMPOS. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

y haciendo uso de la expresión (3) obtenemos:
zz C da = a 2 a - 1
r
E ? d =
C
en que a y a son los valores de a correspondientes a los puntos inicial y final de la curva. Se ob-
2
1
tiene, pues, que:
«Un campo vectorial es conservativo cuando la circulación del vector campo en una trayec-
toria abierta depende exclusivamente de las posiciones inicial y final, pero no de las posi-
ciones intermedias».
Es decir:
zzz 2
2
2
G = E ? d r = E ? d r = E ? d r
M
1
N
1
P
1
Otra conclusión inmediata es que: «si la curva es cerrada, el punto inicial y el final coinciden y
la circulación es nula» (propiedad que caracteriza a los CAMPOS CONSERVATIVOS).
z
G = C E ? d r =0
Pudiéndose enunciar:
Fig. VII-14.– La circulación del vec-
tor campo conservativo no depende «Diremos que un campo vectorial es conservativo cuando la circulación del vector campo a
de los caminos intermedios. lo largo de una trayectoria cerrada es nula».
«Cuando, recíprocamente, se cumple la condición de ser nula la circulación a lo largo de
una curva cerrada es que el vector campo E puede ser obtenido como el gradiente de un
escalar a(x, y, z)».

La demostración de este último teorema es consecuencia inmediata del estudio de la energía
potencial de los párrafos que viene a continuación.
Si no verifica el campo las condiciones dadas decimos de él lo contrario a conservativo, es de-
cir que es DISIPATIVO.

VII – 15. Energía potencial de una partícula en un campo de fuerzas conservativo.
Relación entre la fuerza y la energía potencial

Según hemos dicho la ecuación integral que nos caracteriza un campo de fuerzas conservativo
es:
z F ? d =0 MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
r
C
si C es una línea cerrada. Supongamos que una partícula pasa desde el punto 1 al punto 2, re-
corriendo un camino M (Fig. VII-14) y luego volvemos al 1 por otro camino diferente N; en este
caso:
zz 1 F ? d =0 Þ W 1 2 = z 2 F ? d r = - z z 2 F ? d r
2
1
r
r
r
F ? d
=
F ? d +
M
1
2
N
1
M
si en vez de volver por N lo hubiéramos hecho por P nos quedaría: 2 N 1 N
zz 2
2
2
W = F ? d =r 1 F ? dr
1
1
P
M
y generalizando:
2 z 2 z 2 z 2
W = 1 M F d ×r = F d×r 1 =F d ×r
1
N
P
1
expresión que en palabras nos dice:
«Si una partícula se mueve de un estado inicial 1 a un estado final 2, por efecto de una
fuerza F conservativa (variable o no) el trabajo realizado es independiente de los caminos
intermedios, dependiendo única y exclusivamente del punto inicial y final».
Podemos, por tanto, expresar el trabajo como la diferencia de valores entre los dos puntos
de una determinada magnitud física que será función de la posición, y que llamaremos
ENERGÍA POTENCIAL de la partícula.