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138 TRABAJO Y ENERGÍA. TEORÍA DE CAMPOS. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

senta, por tanto, la suma de los infinitos trabajos elementales a lo largo del trayecto y en definitiva
el trabajo total. (Concepto de integral definida).
Si las componentes de la fuerza F que realiza un trabajo y del desplazamiento dr son F , F ,
y
x
F y dx, dy, dz, es decir: F =F i +F j +F k, dr =dx i +dy j +dz k, la expresión del trabajo
z
y
z
x
es:
dW =(F i +F j +F k) · (dx i +dy j +dz k) =F dx +F dy +F dz
y
x
z
x
y
z
de acuerdo con las propiedades del producto escalar. El trabajo total sobre la partícula cuando
ésta se mueve de 1 a 2, será:
z 2 z z z z 2
x 2
y 2
W = ( F dx + F dy + F dz) = F dx + F dy + F dz
z
x
y
x
y
z
1 x 1 y 1 z 1
. . .
,
y como: dx = x dt dy = ydt y dz = z dt , ésta última expresión se puede escribir:
z t . . . z t 2
W = ( F x + F y + F z dt =) Fv? dt
y
z
x
Fig. VII-3.– Si la fuerza es constante t 0 t 1
en módulo y dirección y la trayecto-
ria de la partícula es recta, el trabajo «Si sobre una partícula actúan varias fuerzas, el trabajo de la resultante es igual a la suma
resulta solo de la componente en la de los trabajos de cada una de ellas».
dirección del desplazamiento.
En efecto: F =F +F +F ..., el trabajo realizado por F al recorrer el camino dr es:
1
2
3
dW =F · dr =(F +F +...) · dr =F · dr +F · dr +...
2
2
1
1
igualdad que nos demuestra el teorema.
Salta a la vista, de este teorema, y es importante remarcarlo, que para definir correctamente un
trabajo es necesario especificar cuál es la fuerza que lo realiza. Distintas fuerzas aplicadas a una
partícula en un mismo desplazamiento pueden realizar trabajos distintos.
La fuerza F que hace que una partícula se mueva, como ya hemos visto, es la suma de una
tangencial y una normal: F =F +F , entonces:
n
t
z z z
W = C F ? d =r C F ? dr + F ? dr
n
t
C
siendo que F forma cero grados con dr y F forma p/2 rad, tendremos:
t
n
z
W = C F dr
t
«Solo la componente tangencial de la fuerza que actúa sobre una partícula en movimiento
produce trabajo».
Veamos ahora algunos de los casos particulares frecuentes: MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
A) Si la fuerza F es constante y la trayectoria seguida por la partícula es recta (Fig. VII-3), en-
tonces:
W =F · s =Fs cos j (1)
en la que hemos llamado s a la magnitud desplazamiento (camino recorrido); y si la dirección de
la fuerza y el espacio (s) es la misma, entonces: W =F s.
Fig. VII-4.– El trabajo puede ser tan-
to positivo como negativo. B) ¿Cuándo el trabajo de una fuerza es nulo? Evidentemente, si la fuerza es nula; pero tam-
bién si no hay desplazamiento (caso de la fuerza de rozamiento estático de un cuerpo apoyado en
una superficie o de un sólido que rueda sin deslizar), o bien si, siendo F y dr no nulos, forman un
ángulo de p/2 rad, como es por ejemplo el caso del peso en un desplazamiento horizontal o el de
la fuerza centrípeta en un movimiento circular.
C) El trabajo de una fuerza determinada, ¿tiene siempre el mismo signo? El signo depende de
la dirección y sentido del desplazamiento (Fig. VII-4). Si el ángulo entre F y v es
–p/2 < j < p/2, el trabajo será positivo, pero si se verifica p/2 < j <3p/2, será negativo. La
fuerza de rozamiento dinámico realiza siempre un trabajo negativo, por ser siempre de sentido
contrario a v.
D) El trabajo realizado sobre una partícula, cuando actúa una fuerza constante F, en toda su
trayectoria (1 ® 2 en la Fig. VII-5), es igual al producto escalar de dicha fuerza por el vector des-
plazamiento Dr.
Fig. VII-5.– El trabajo que realiza En efecto:
una fuerza constante F es igual al 2 z r 2 z r 2
producto escalar de dicha fuerza por W = F ? d =r F ? dr =F ?( r 2 -r ) =F ? D r c.q.d.
1
1
el vector desplazamiento Dr. r 1 r 1