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ENERGÍA EN LOS OSCILADORES. RESONANCIA 155

El trabajo realizado para estirar el extremo libre desde la posición inicial x, hasta una posición
i
final x (siempre que no se produzca una deformación permanente del muelle) es la suma (integral)
f
de todos los trabajos elementales realizados en tal proceso:
x i zz x f 1 1
x f
W x f = Fdx = Kxdx = K x 2 f - K x 2 i
x i x i 2 2
En el caso de que llevemos al extremo libre desde su posición natural x =0, hasta una posi-
i
ción final x =x, el trabajo realizado por la fuerza aplicada valdrá:
f
1
x 2
W = K x
0
2
La fuerza elástica que el muelle ejerce sobre la partícula F es igual que la que hemos emplea-
m
do pero de signo contrario, en consecuencia Fig. VII-24.– Trabajo realizado por una
z x z x 1 fuerza externa que estira a un muelle.
W = 0 F dx = - 0 K xdx = - K x 2
m
m
2
siendo ésta conservativa, y tomando en la posición de equilibrio la energía potencial nula U (O) =0,
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en la posición x, la partícula tendrá una energía potencial:
1 2 1 2 1 2 2
W = U O -( ) U x = -() Kx Þ U x() = K x = mw x
m
2 2 2
Teniendo en cuenta el valor de x para un MAS, la variación de la energía potencial en función
del tiempo será:
1 2 2 2
Ut() = mw A sen (w t +j )
2
En la Fig. VI-13 del oscilador masa-muelle vertical, si se toma como energía potencial cero en
el punto O (a) entonces U (O) =0 e y =0 y en una posición de oscilación (c) la energía poten-
m
cial será Ky /2. Hacemos el mismo cambio de sistema de referencia que hacíamos en el párrafo
2
VI-8 referente a tal figura, es decir: tomamos el referencial de energía potencial cero en la posición
de equilibrio O¢(b) , en este caso la energía potencial del muelle toma el valor:
1 2 1 2
U = K y¢ +( y ) - Ky 0
0
m
2 2 1 2
mg Þ U = 2 Ky¢ + mgy¢
m
k = Þ ky = mg
0
y 0
siendo la energía potencial gravitatoria respecto a O¢: U =– mg y¢, nos queda para la energía po-
g
tencial total del sistema masa-muelle:
1 2
U = U m + U g = ky¢
2
«En un sistema masa-muelle vertical, para la medida de su energía potencial, se prescinde
de la influencia gravitatoria si tomamos energía potencial cero en su posición de equilibrio».
VII – 27. Energía mecánica de una partícula que posee movimiento vibratorio
armónico simple. Intensidad
LA ENERGÍA CINÉTICA de un punto material de masa m que oscila con MAS es:

1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2
x )
T x() = mv = mA w cos (w t +j ) = mw ( A - Û T x( ) = K A( x )- (7)
2 2 2 2
La energía cinética es máxima cuando la velocidad es máxima [cos (wt +j) =1] es decir,
cuando el móvil pasa por su posición de equilibrio; su valor es, entonces:
1 2 2
T = mA w
2
Como: x =A sen (wt +j), LA ENERGÍA POTENCIAL de la partícula de masa m que oscila con un
MAS es:
1 2 1 2 2 2
Ux() = Kx = mw A sen (w t +j ) (8)
2 2