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SISTEMAS COMPUESTOS. LENTES 595

Consideremos un rayo (AB) paralelo al eje que corta el plano principal objeto del primer siste-
ma a la altura h; dibujemos su trayectoria a través de los sistemas; el rayo emergente del segundo
sistema corta al eje en F¢, que es el foco imagen compuesto ya que es el punto en que el rayo pa-
ralelo al eje en el espacio objeto, corta a dicho eje en el espacio imagen. La prolongación de AB y
el rayo emergente del segundo sistema se cortan en el punto D, que proyectado sobre el eje nos
determina el punto principal imagen (H¢) del sistema; en efecto DH¢pertenece al plano principal
imagen, puesto que el rayo AB que se propaga a una altura h sobre el eje, en el espacio objeto,
corta a tal plano a la misma altura h en el espacio imagen. H¢F¢nos determina la distancia focal f¢
(negativa en el dibujo).
Considerando la misma construcción a la inversa, dibujando la trayectoria de DE a través del
segundo y primer sistema, encontraremos F y H, foco objeto y punto principal del sistema com-
puesto. HF nos determina la distancia focal objeto f (positiva en el dibujo).
Para determinar las distancias F F =z y FF z nos basta considerar que F es un punto
¢¢ = ¢
1
2
F
cuya imagen en el medio (1) es F y que F¢es la imagen en el medio (2) de ¢ . Aplicando la
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1
fórmula de Newton zz¢=ff¢a cada uno de los casos tomando en ambos D como positivo, ob-
tenemos:
ff ¢
f f
-zD = - ¢ Þ z = F F = 11
11
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D
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
ff ¢
z D 22 ¢ Þ z ¢ = ¢¢ =-F F 22
¢ =-f f
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D
quedando, así, determinados los focos del sistema.
Para hallar el valor de f¢(distancia focal del sistema compuesto) consideremos los triángulos
semejantes sombreados en la figura, en los que se verifica:
h - f ¢ h f ¢ - f ¢ f ¢ ff ¢¢
1
1
1 2
- b = f ¢ Ù - b = D Þ f ¢ = D Þ f ¢ =- D
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2
Llevando estas distancias con signo contrario a partir de F¢y F, obtendremos H y H¢. (Se ha
cambiado el signo pues f¢y f son distancias contadas desde H y H¢).
ff
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f =
De la misma forma obtendríamos como valor de la distancia focal objeto: D
Conocidas las distancias focales y la posición de los focos, se determinan los puntos nodales de
la forma conocida (párrafo XXV-10).
El sistema estudiado en el dibujo ha quedado reducido al de la Fig. XXV-10 (inferior).
XXV – 13. Determinación de los puntos cardinales de una lente gruesa
Una lente es una asociación de dos dioptrios esféricos. Estudiaremos, como en todo lo que an-
tecede, la formación de imágenes correspondientes a rayos en la zona paraxial.
Los puntos principales de los dioptrios se identifican con los polos de los casquetes esféricos y
sus planos principales con los tangentes a la esfera en tales puntos. Las distancias
focales quedan determinadas por las fórmulas del dioptrio esférico:
f¢=rn¢/(n¢– n)y f =–rn/(n¢– n); considerando que en el primer dioptrio el me-
dio de entrada es el aire y el de la salida vidrio (índices 1 y n respectivamente) y
en el segundo dioptrio a la inversa, obtenemos:
n 1 1 n
f ¢ =r f =-r f ¢=r f =-r
1
1
n -1 1 1 n -1 2 2 1 -n 2 2 1 -n
Como ejemplo supongamos el caso de la Fig. XXV-11, en que los valores de r 1
y r son iguales y de signo contrario: r =–r =r. También hemos supuesto que el
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2
1
espesor máximo de la lente es: e =r, y que su índice de refracción es: n =1,5. Fig. XXV-11.– Determinación de los puntos cardinales
Las distancias focales de los dioptrios son, en tal caso: de una lente gruesa.
f 1 ¢ = 3r f 1 = - 2r f 2 ¢= 2r f 2 = - 3r
F
F
observemos que los focos imagen ( ¢ y ¢ ) y objeto (F y F ) de ambos dioptrios coinciden en el
1
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1
2
ejemplo que estudiamos.
Realizando una construcción idéntica a la de los sistemas compuestos, obtenemos F¢, H¢, F y
H; en el dibujo se han especificado, únicamente, las posiciones de F¢y H¢ya que, dada la simetría
del sistema que nos ha servido como ejemplo, F y H están a la misma distancia de H que F¢y H¢
1
lo están de H .
2
Analíticamente obtenemos: