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SISTEMAS ÓPTICOS CENTRADOS 593
XXV 8. Fórmulas de Newton
Considerando los triángulos semejantes sombreados en la Fig. XXV-4 y expresando las diver-
sas distancias con su valor y signo (z y z¢contadas a partir de F y F¢, y f y f¢a partir de H y H¢) ob-
tenemos:
y
- ¢ -f z ¢ y ¢ f z ¢ zz ¢= f f
y = -z = f ¢ Þ b = y =- z =- f ¢ Þ ¢
que son las fórmulas de Newton de los sistemas centrados que nos relacionan las distancias ima-
gen y objeto (z y z¢) a los focos, y el aumento lateral, con las distancias focales del sistema óptico.
XXV 9. Fórmulas de los puntos conjugados referidas a los planos principales
Si llamamos a y a¢las distancias de objeto e imagen a los planos principales respectivos, de la
Fig. XXV-4 obtenemos:
z =a f z¢=a¢ f¢
f
y ¢ f a ¢ - ¢
que sustituidas en las fórmulas de Newton nos dan: b = =- =- (1)
y a - f f ¢
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operando: (a f) (a¢ f¢) =ff¢ Þ aa¢ af¢ fa¢+ff¢=ff¢ Þ fa¢+af¢=aa¢
f f ¢
y dividiendo por aa¢: + =1
a a¢
análoga a la obtenida en el estudio del dioptrio esférico.
El numerador de la (1) lo podemos escribir, teniendo en cuenta la anterior:
F f ¢ I af
¢
H
a ¢ - ¢ = ¢ - G 1 a ¢ K J = a
a
f
a ¢ f
que sustituida en tal valor de b, nos da: b =-
a f ¢
XXV 10. Puntos nodales
PUNTOS NODALES son dos puntos del eje del sistema centrado cuyo aumento angular es la
unidad.
Todo rayo de luz que pasa por el punto nodal objeto, pasa por el nodal imagen formando el
mismo ángulo con el eje, es decir: propagándose el rayo en el espacio imagen paralelamente al
correspondiente en el espacio objeto.
Conocidos los focos y puntos principales, es muy sencilla la determinación geomé-
trica de los puntos nodales (Fig. XXV-8); se traza un rayo 1 que pasa por el foco obje-
to F y forma cualquier ángulo s con el eje; este rayo se propagará en el espacio ima-
gen paralelamente al eje y cortará al plano focal imagen en el punto A. Por tal punto
trazamos el rayo 2 paralelo al 1 y que corta al eje en N¢(punto nodal imagen). Dibu-
jemos el rayo conjugado del 2; para ello trazamos por el punto C (CH =BH¢=h) una
paralela a los rayos 1 y 2, obteniendo al rayo 3 que corta al eje en el punto N (punto
nodal objeto).
La construcción es correcta: el rayo 3 que forma un ángulo s con el eje y pasa por
N, corta al eje, en el espacio imagen, en N¢, formando el mismo ángulo s con el eje.
(Cualquiera que sea la dirección del rayo primeramente trazado rayo 1 los pun- Fig. XXV-8. Puntos nodales.
tos N y N¢están en la misma posición, como demostraremos a continuación.)
Se ve, a primera vista, que los triángulos CHN y BH¢N¢son iguales, así como los FHD y
N¢F¢A. Llamando z y z¢a las distancias de F y F¢a N y N¢, y recordando que f y f¢se miden siem-
pre a partir de H y H¢, obtenemos:
f
z = ¢ (suma de catetos de triángulos iguales)
- z¢ =- f Þ z¢ = f (catetos de triángulos iguales)
Siendo constantes para cada sistema los valores de f y f¢, no existen más que dos puntos del
eje N y N¢, que cumplen que su aumento angular sea la unidad.
Las anteriores ecuaciones nos indican que para determinar los puntos nodales basta tomar
a partir del foco objeto y del imagen distancias respectivamente iguales a la focal imagen y a la
objeto.
