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ESTUDIO DEL CIRCUITO BÁSICO DE CORRIENTE 527

-=i e -i p /2 i =e i p /2 (11)
La ventaja que vamos a tener en la utilización de la forma exponencial, es que las operaciones
se simplifican extraordinariamente, ya que en vez de operar con expresiones trigonométricas, lo
haremos con exponenciales que es siempre mucho más fácil.

E) ESTUDIO DEL CIRCUITO BÁSICO DE CORRIENTE
XXII – 20. Circuito de corriente alterna sinusoidal LCR. Diagramas vectoriales
En el circuito de la Fig. XXII-37 el generador es un alternador con una FEM dada por: e =e 0
iwt
cos wt, y escrita en forma exponencial: [e] =e e , teniendo en cuenta que en las expresiones
0
como ésta sólo tendrá sentido físico la parte real de la ecuación; sustituyéndola en (10) nos queda:
1
dI Cz
e e itw = I R + L dI + Idt (12)
0
Si el primer miembro es del tipo expresado, el segundo tiene que ser de forma análoga y por
tanto la solución a esta ecuación tiene que ser necesariamente: [I] =I e i (wt – j) . Las expresiones si-
0
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guientes son equivalentes:
=
e = e e itw ee cos w t Fig. XXII-37.– Circuito básico de co-
0
rriente alterna.
0
Û
(
I = I e i w t -j) I = I cos ( w t -j)
0
0
variando la intensidad I entre los valores I y –I ; siendo I el valor absoluto de la INTENSIDAD MÁXI-
0
0
0
MA y j el ÁNGULO DE DESFASE de la intensidad respecto de la FEM. Un ángulo j >0, indica un retra-
so de la intensidad con respecto a la FEM (Fig. XXII-38a), un ángulo j <0 indica un adelanto de I
respecto a e (Fig. XXII-38b). La autoinducción del circuito provoca retrasos de I con respecto a e;
los condensadores adelantos de I con respecto a e.
Para determinar los valores de I y j en función de las características del circuito (L, C, w, e , y
0
0
R), procedemos de la siguiente manera: derivando la expresión I =I e i (wt – j) con respecto al tiem-
0
po, se obtiene:
dI
= i w I e i w( t -j)
0
dt
z i
por integración de la misma obtenemos: Idt =- w Ie i w( t -j) +constante
0
por sustitución en la fórmula (12) de las anteriores nos da*:
L F 1 IO
G
JP
e e itw = I e i w -( t j) M N M R + i L w - C wKP Q (13)
H
0
0
L F 1 IO
G
H
dividiendo ambos miembros por e i w t se obtiene: e = Ie -i j M R +i L w - C w JP Q (14)
KP
N M
0
0
teniendo en cuenta que: e – ij =cos j – i sen j, estableciendo la igualdad entre las partes rea-
les y las imaginarias de ambos miembros de la (14) nos queda:
L F 1 I O I e 0 e 0
G
F
I
H
e = M R cos j + L w - C w J K sen j P Q P 0 R 2 + L w - 1 I J 2 = Z
N M
0
0
G
Þ H C w K (15)
F 1 I L w - 1
G
R sen j - L w - C w J K cos j = 0 tg j = R C w = X
H
R
Tanto el denominador de la primera como los sumandos del numerador de la segunda tienen
dimensiones de resistencia eléctrica, se miden en ohmios, y se denominan, respectivamente, IMPE-
DANCIA (Z), REACTANCIA INDUCTIVA (X ), y REACTANCIA CAPACITIVA (X ):
L
C
Fig. XXII-38.– a) Intensidad retrasa-
* Se ha eliminado en la sustitución a la constante de la integración anterior, para que se cumpla que todos los sumandos
de la expresión de la FEM alterna sean funciones armónicas del tiempo. Tal constante dividida por la capacidad, representaría da en fase j respecto a la FEM. b) In-
una FEM continua, que produciría una corriente incompatible con la existencia del condensador. Si éste no existiese en el cir- tensidad adelantada en fase j res-
cuito, el término correspondiente a la integración no intervendría tampoco en la expresión de la FEM. pecto a la FEM.