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ENERGÍA ASOCIADA A UN CAMPO ELÉCTRICO 413

Los cálculos los hemos realizado refiriéndonos al centro del dipolo como origen; si tomamos
otro punto cualquiera O (Fig. XVIII-41), realizaremos una traslación de ejes y las fórmulas serán las
mismas sin más que sustituir r por r – r¢¢y r por |r – r¢¢|.

XVIII – 33. Ecuación fundamental de la electrostática: ecuación de Poisson

Hemos visto que el campo electrostático puede expresarse como menos el gradiente del poten-
cial: E =– grad V, además tentemos que la expresión del Teorema de Gauss en forma infinitesi-
mal era: div E = r/e , de las dos, deducimos: div grad V = – r/e ; conviene considerar la div
0
0
grad como un solo operador diferencial que se llama LAPLACIANO y se representa por D ó ÑÑ 2 em-
pleando esta última notación, escribimos la anterior:
Ñ Ñ 2 V = r (ECUACIÓN DE Denis Simeón POISSON 1781-1840)
e 0 Fig. XVIII-41.– Cambio de sistema de
referencia.
En coordenadas cartesianas esta ecuación es de la forma:

2
2
2
¶ V ¶ V ¶ V r xy z(, , )
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
¶ x 2 + ¶y 2 + ¶z 2 = - e 0
Si dada una determinada r y unas condiciones de contorno que permitan calcular las constan-
tes de integración, resolvemos la ecuación, sus soluciones nos darán la función potencial V(x, y, z)
creada por tal distribución, y calculando su gradiente conoceremos el campo electrostático en todo
punto del espacio con lo cual habremos resuelto el problema fundamental de la electrostática,
dada una distribución de carga calcular el campo que origina.
Por lo general la solución de la ecuación de Poisson es complicada, por lo cual su resolución se
aparta del contexto del presente libro. El lector interesado puede consultar cualquier texto de Elec-
tromagnetismo donde está tratado este tema más ampliamente. No obstante se proponen dos ca-
sos particulares, en los que la resolución de la ecuación de Poisson es muy asequible.
PROBLEMAS:84 al 86.

E) ENERGÍA ASOCIADA A UN CAMPO ELÉCTRICO
XVIII – 34. Energía potencial de un sistema de cargas puntuales. Generalización
para una distribución volumétrica continua. Energía asociada a un
campo eléctrico

Hemos visto que la energía potencial electrostática que poseen dos cargas puntuales q y q si-
2
1
tuadas a la distancia r , viene medida por el trabajo que se realiza al trasladar la carga q (o la q )
12
2
1
en presencia de q (de q ) desde el infinito hasta la distancia indicada en la distribución de la Fig.
1
2
XVIII-42; su valor era:
qq 2
1
U = K 0 r 12
si q y q son del mismo signo, el trabajo se ha efectuado sobre el sistema (han de empujarse una Fig. XVIII-42.– Energía potencial de
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1
hacia la otra) y por tanto es positiva. Dicha energía sería negativa si q y q fueran de distinto sig- dos cargas puntuales.
2
1
no, lo que quiere decir que en este caso es el campo eléctrico el que realiza un trabajo positivo.
Supongamos ahora una distribución de tres cargas como indicamos en la Fig. XVIII-43. La
energía que posee el sistema será el trabajo necesario para formar dicha configuración. Si tenemos
q y traemos q el trabajo será el ya expresado en la fórmula anterior; a continuación traemos q el
2
3
1
trabajo será:
qq qq
K 0 1 r 13 3 + K 0 r 2 23 3
luego el trabajo total o energía del sistema es: U = K 0 qq 2 + K 0 qq 3 + K 0 qq 3
2
1
1
r
r
r
23
13
12
generalizando para una distribución de cargas puntuales, la energía del sistema será:
1 qq j
i
U =åå K 0 ( i ¹ j)
i j 2 r ij
hemos puesto el término 1/2 porque los productos binarios q q y q q aparecen dos veces. Esta úl- Fig. XVIII-43.– Energía que posee
j
i
i
j
tima ecuación la podemos escribir de la siguiente forma: un sistema de tres cargas puntuales.