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LA FUNCIÓN POTENCIAL DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO 411

«Las superficies equipotenciales se cortan normalmente con las líneas del campo».
Son propiedades inmediatas de las superficies equipotenciales: 1) Las superficies equipoten-
ciales no se cortan (el potencial en un punto tiene un único valor). 2) En el interior de una super-
ficie equipotencial cerrada de potencial no nulo existe necesariamente carga neta no nula.
PROBLEMAS:55 al 83.

XVIII – 31. Cálculo del potencial eléctrico debido a un volumen esférico en el que se
halla distribuida uniformemente carga eléctrica

En el párrafo XVIII-23, por aplicación del Teorema de Gauss, se ha obtenido para valor de la
intensidad del campo eléctrico producido por una carga Q uniformemente distribuida en un volu-
men esférico de radio R, para un punto situado en el exterior (r ³ R) de la misma y a una distan- Fig. XVIII-37.– Superficies equipo-
tencial.
cia r del centro:
Q 1 Q
E ext = K 0 r 3 r = 4pe 0 r 3 r

llamando r a la carga de la unidad de volumen:
dQ Q 3Q 4 3 R 3 r r
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r = = = 3 Þ Q = p R r Þ E ext = 3
dV V 4 p R 3 3 e r
0
1 Q r Q
y para un punto en el interior de la esfera (r >R): E = 2 int = 3 r
int
4p r e 0 r 4pe 0 R
r
en función de r: E int = 3 e 0 r
Para calcular el potencial en un punto exterior (r >R), mediremos el trabajo realizado por el
campo al transportar la unidad de carga del punto al infinito, que viene dado por:
z
¥
V = E ? dr
r
esta integral es independiente del camino recorrido; haciendo el transporte de la unidad de carga a
lo largo de una línea de fuerza E y dr son paralelos; luego:
z ¥ ¥ r R 3 r R L O 1 ¥ r R 3 Q
3
r N Q
-
V = r Edr = r e 0 r z 3 2 dr = 3 e 0 M P r Þ V= 3 e 0 r Þ V= 4 p e 0 r
El potencial en un punto del interior de dicha esfera (r £ R) vendrá dado por el trabajo reali-
zado por el campo interior al transportar la unidad de carga desde el punto a la superficie de la es-
fera más el realizado por el campo exterior al transportarla de la superficie al infinito. Viene dado
por:
z ¥ z R
V = R E ext ? dr + E ? dr
int
r
estas integrales son independientes del camino recorrido; haciendo el transporte de la unidad de
carga a lo largo de una línea de fuerza E y dr, son paralelos; luego:
z ¥ z z ¥ r R 3 R r r r R L O ¥ r r L O R
3
2
R
1
r N Q
dr +
V = R E ext dr + r E int dr = R 3 e 0 r z 3 e 0 dr = 3 e 0 M P R + 3 e 0 M P r Q Þ
-
N
2
2
r
2
2
2
r
r R 2 r R L 2 r O Q 3( R - )
V = + M - P Û V=
3 e 0 3 e 0 N 2 2 Q 8 pe 0 R 3
en ambos casos si hacemos r =R: V = r R 2 Fig. XVIII-38.– En una esfera unifor-
3 e 0 memente cargada, la intensidad E
2
El potencial se hará máximo en el centro de la esfera y toma el valor (r =0): V =r R /2 e . aumenta linealmente desde el centro
0
Si la carga distribuida en la esfera fuese negativa, la gráfica del potencial, en la Fig. XVIII-38, a la superficie de la esfera y disminu-
sería la simetría respecto del eje r. ye según la inversa del cuadrado de
la distancia fuera de ella. El potencial
Podemos obtener el mismo resultado calculando, el potencial como función de r dentro y fuera V disminuye parabólicamente en el
de la distribución de carga. A continuación para obtener E lo haremos calculando el grad V; en interior y disminuye según la inversa
este caso, el procedimiento es más complicado que como lo hemos realizado. de la distancia fuera de ella.