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412 ELECTROSTÁTICA
XVIII 32. Cálculo del potencial y del campo eléctrico que crea un dipolo eléctrico
en un punto
El dipolo eléctrico es un tipo de distribución que nos aparece frecuentemente en el estudio del
electromagnetismo; volveremos a ocuparnos de él en el capítulo XIX.
Se llama DIPOLO ELÉCTRICO al sistema formado por dos cargas eléctricas puntuales, iguales y
de signo contrario, unidas rígidamente y separadas entre sí una distancia pequeña l (Fig.
Fig. XVIII-39. Dipolo eléctrico. Vec- XVIII-39).
tor momento dipolar.
Se define como «MOMENTO DIPOLAR» a la cantidad vectorial:
p = q l
es decir: «Es un vector cuyo módulo es ql, dirección la definida por la recta que une las cargas, y
sentido el que va de la carga negativa a la positiva».
Teniendo en cuenta la relación:
F V¶ ¶ V ¶ V I
G
E =-grad V =- i + j + k J
H x¶ ¶ y z ¶ K
y como hemos dicho en muchas ocasiones, casi siempre será más fácil calcular primero el escalar
V (potencial) en cualquier problema y después por derivación hacer el cálculo de E.
En efecto: El potencial creado por el dipolo de la Fig. XVIII-40 en un punto P a distancias r y
1
r de la carga positiva y negativa respectivamente será:
2
q L qO
V = K 0 M - P
r
N 1 r 2 Q
Llamando r a la distancia desde el centro del dipolo (O) hasta el punto P, y considerando que:
r ? l, podemos poner:
l l
r = r - 2 cos j r 2 r = + cos j
1
2
Fig. XVIII-40. Las cargas +q y q L O
unidas rígidamente forman el dipolo M P
eléctrico de momento dipolar p ® =q ® . l sustituyendo en V: K q M 1 1 P Kql cos j
El potencial en P será la suma de los V = 0 r - M l cos j - l cos j P = 0 2 l 2 2
potenciales debidos a las cargas indi- N 2 r + 2 Q r - 4 cos j
viduales.
l 2 Kql cos j
2
y como r ? l nos quedará después de eliminar el infinitésimo cos j : V = 0
4 r 2
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teniendo en cuenta que: p =q l Þ p · r =qrl cos j, nos queda: V = K 0 r 3
Obtendremos las componentes del campo por derivación:
L ¶
¶ V i =- G F prIO i JP L ¶ G r F IO i JP
?
E =- M xH K 0 r K =- M p ? x r H K (17)
x
3
3
¶ x N ¶ Q N ¶ Q
sabemos que: r =x i +y j +z k Þ r = x 2 + y 2 z + 2 , luego:
¶r 2 ¶r x
3
¶ F I r ¶x - 3 r ¶x r ri - 3 r r 1 3 x
r
¶x r H K r 6 = r 4 = r 3 i - r 5 r
G J =
3
multiplicando escalarmente por p =p i +p j +p k y teniendo en cuenta las propiedades de este
z
y
x
producto nos queda:
¶ r F I p x 3 p r?
¶x r H K r 3 r 5
p ? G J = - x
3
Sustituyendo en (17) y generalizando para las demás componentes del campo:
jI
kI
iI
p
p
p
E = G F 3 pr ? i x - J E = G F 3 pr ? y j - J E = G F 3 pr ? z k - J
r H
r K
r K
r H
y
z
r K
r H
K
K
x
K
0
z
0
y
x
0
3
3
3
5
5
5
pI
H
K
luego: E = G F 3 pr ? r - J K
0
5
r
3
r
