Page 401 - Fisica General Burbano

414 ELECTROSTÁTICA

L q O
1 q M K P
j
U = å i å 0 ( i ¹ j)
2 i N M j r ij Q P
en donde el término entre paréntesis es el potencial electrostático debido a todas las cargas excep-
to a la q en el punto donde ésta se encuentra, llamándolo V nos quedará:
i
i
1
U = å q V i
i
2 i
Si tenemos una distribución continua de carga definida por su densidad volumétrica r(r) en vez
de la distribución discreta de cargas puntuales, la carga en cada punto P (x, y, z) será: dq =r dv y el
potencial en ese punto será V (x, y, z) debido a todas las cargas excepto a dq, entonces la expre-
sión de la energía asociada a la distribución nos quedará:

1 z
r
U = V dv (18)
2 v
es evidente que el valor de U será el mismo si la integral la extendemos a todo el espacio en vez de
al volumen v (que encierra todas las cargas) puesto que fuera de ese volumen r =0 y el integran-
do para esos puntos es nulo.

XVIII – 35. Densidad de energía asociada a un campo eléctrico
La expresión diferencial de la (18) es:
1 dU 1
r
dU = V dv Þ = V r
2 dv 2
la cual nos indica una propiedad local del campo por la que podemos asociar a cada punto de él
una magnitud escalar, que nos representa una densidad de energía por unidad de volumen. Va-
mos a relacionar esta energía potencial U con el campo eléctrico en cada punto debido a tal distri-
2
2
bución; para lo cual tendremos en cuenta la ecuación de Poisson: ÑÑ V =–r/e 0 Þ r =–e ÑÑ V,
0
que se cumple para todos los puntos del campo. Sustituyendo este valor en la anterior nos queda:
dU 1 2 V)
2
dv =- e 0 V (ÑÑ (19)
esta ecuación se puede simplificar empleando la identidad vectorial:
Ñ Ñ · f a =f (ÑÑ · a) +a · ÑÑf
que admitimos sin demostración, y aunque ésta no es difícil, no aporta ningún concepto físico en MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
su razonamiento; en ella f es una función escalar y a una función vectorial. Si ponemos f =V y
a =ÑÑV, obtenemos:
2
Ñ Ñ · (V ÑÑV) =V (ÑÑ · ÑÑV) +(ÑÑV) 2 Þ V (ÑÑ V) =ÑÑ · (V ÑÑV) – (ÑÑV) 2
y como: E =– grad V =– ÑÑ V, se obtiene:
2
V (ÑÑ V) =–ÑÑ · (V E) – E 2
que sustituida en (19) nos queda:
dU 1 V ( E 2 1 z V ( ) E 1 z E dv (20)
2
2
2
dv =- 2 e 0 -ÑÑ ? ) E - Þ U = e 0 v Ñ Ñ ? dv + e 0 v
como la primera integral es nula (como demostraremos a continuación) nos queda para valor de
la energía asociada a un campo eléctrico E (r):
1 z 2
U = e 0 E dv
2 v (21)

y la expresión que nos mide la DENSIDAD DE ENERGÍA ASOCIADA A UN CAMPO ELÉCTRICO será:

dU 1 2
u = = e 0 E
dv 2
esto significa que en cada punto del espacio donde hay un campo eléctrico puede definirse una
magnitud escalar positiva que representa la energía eléctrica por unidad de volumen. A partir de
un campo eléctrico se llega a un campo de energía eléctrica.