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242 EL CAMPO GRAVITATORIO

M M ¢ r 3 r
r = = Þ M ¢ = M Þ g =GM
4 pa 3 4 pr 3 a 3 a 3
3 3
y la expresión vectorial será:
GM
g =- r
a 3
«La intensidad del campo gravitatorio que produce una distribución esférica y homogénea
de masa M en un punto interior a ella es: 1.º El que produciría una masa puntual (M¢igual
a la que habría en el interior de la esfera de radio la distancia del centro al punto conside-
rado (r), colocada en el centro. 2.º Proporcional a la distancia al centro (r). 3.º Independien-
te de la masa que queda en el exterior de la esfera citada en el apartado 1.º
Compruébese que ambas expresiones obtenidas coinciden cuando calculamos el campo en la
superficie de la distribución (r =a).

XI – 17. Variación del peso con la profundidad
En una mina profunda el peso de un cuerpo es menor que en la superficie terrestre. En efecto:
hemos demostrado que la intensidad del campo gravitatorio en cualquier punto interior a una es-
fera, es igual al producido únicamente por la esfera material de radio r y masa M (Fig. XI-24). Si r
es la densidad media de tal esfera material, el peso de un cuerpo de masa m en el interior de la
mina (prescindiendo de las influencias de la rotación de la Tierra y de las diversas densidades del
subsuelo), es:
Mm
P = mg = G
r 2
4
3
pero siendo M = r pr , obtenemos:
3
4pr Gm
P = r
3
Observemos que el peso es tanto menor cuanto menor es la distancia al centro de la Tierra. En
Fig. XI-24.– Variación del peso con tal centro (r =0) el peso es nulo.
la profundidad. PROBLEMAS:60 al 63.

PROBLEMAS
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1. La distancia entre los centros de dos esferas de 3 t de masa es de la gravedad en la superficie terrestre es 9,80 m/s y el radio terrestre MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
de 1 m, determinar la fuerza con que se atraen. es de 6 400 km. Calcular a partir de estos datos la masa de la Tierra.
2. Supongamos que en el espacio intergaláctico (fuera de toda in-
fluencia de cuerpos celestes) tres masas puntuales de 2, 4 y 2 kg se en-
cuentran en tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado. ¿Cuál es la
fuerza que ejercerán sobre una partícula de 1 g colocada en el cuarto
vértice?
3. Supongamos que en el espacio intergaláctico (fuera de toda in-
fluencia de cuerpos celestes) se encuentran tres esferas de masas 1t, 2t y
3t cuyos centros se encuentran en (0, 0), (2, 3) y (– 2, 3) medidas estas
coordenadas en metros y referidas a un sistema de ejes rectangulares.
Calcular la fuerza que ejercerán sobre una partícula de 1 g de masa co- Problema XI-4. Problema XI-5.
locada en (0, 6)m. 7. La masa de la Luna es aproximadamente 6,7´10 22 kg, su radio
4. La esfera de hierro de la figura, centrada en el origen de coorde- 1,6 ´10 m y el valor de g en la superficie de la Tierra es 9,8N/kg.
6
0
nadas y de 50 cm de radio, tiene una burbuja también esférica, vacía, 1) ¿Qué distancia recorrerá un cuerpo en un segundo, en caída libre ha-
de 10 cm de radio y con su centro a 25 cm del de la esfera grande. Cal- cia la Luna, si se abandona en un punto próximo a la superficie de
cular la fuerza gravitacional que ejerce sobre una pequeña masa de aquélla? 2) ¿Cuál será el período de oscilación, en la superficie lunar,
100 g situada a 1 m del origen, como indica la figura. Densidad del hie- de un péndulo cuyo período en la Tierra es de 1 s? 3) En la superficie
3
rro: 7,86 g/cm . terrestre, al colocar un cuerpo en el platillo de una balanza y en el otro
5. Supongamos un sistema aislado (en ausencia de campo gravita- platillo 23,15 g se consigue el equilibrio. ¿Qué pesas tendríamos que uti-
cional) formado por dos masas iguales (M) como se indica en la figura. lizar para equilibrar, igualmente, el mismo cuerpo en la superficie lunar?
Una tercera masa m se suelta en un punto P equidistante de las dos ma- 8. Si por alguna causa interna la Tierra redujese su radio a la mitad
sas y a una distancia b = a de la línea que las une. Demostrar que ad- manteniendo su masa (g = 9,8 N/kg y frecuencia de giro de la Tierra:
0
quiere un movimiento vibratorio armónico y calcular su período. n = 1 vuelta/día). 1) ¿Cuál sería la intensidad de la gravedad en su
0
6. En un experimento para medir la constante de gravitación uni- nueva superficie? 2) ¿Cuál sería la nueva duración del día en horas?
versal G, se encontró que una esfera de masa 0,8 kg atrae a otra esfera 9. «Se dice que una órbita circular o elíptica de un satélite artificial
de masa 4 ´10 – 3 kg con una fuerza de 1,3 ´10 – 10 N cuando la distan- es estable cuando ésta corta la esfera terrestre en un círculo máximo.»
cia entre los centros de ambas esferas es de 4 ´10 – 2 m. La aceleración ¿Por qué no lo es en caso contrario?