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TRAYECTORIAS EN UN CAMPO GRAVITATORIO 237

Para calcularla procederemos de la siguiente forma: supongamos un cuerpo que partiendo del
reposo desde el infinito (U =0) llega a un punto P que dista r del centro de la Tierra con una ve-
¥
locidad v ; el principio de conservación de la energía exige:
E
GM m 1 2 2G M
T
E = U + T = U + Þ 0 = - 0 + mv Þ v = 0
¥ ¥ r 2 E E r
siendo la intensidad de la gravedad en la superficie terrestre: g = GM R/ 2 0 Þ GM = g R 0 2
0
0
0
0
quedándonos:
2 g
v = R 0 r 0
E
Recíprocamente si a un proyectil a distancia r del centro de la Tierra se le comunica una velo-
cidad cuyo valor sea igual o mayor que v , escapará de la atracción terrestre. (La velocidad real de
E
escape debe ser algo mayor por efecto del rozamiento con la atmósfera). Si el proyectil es lanzado
desde la superficie terrestre, r es, entonces, el radio de nuestro planeta, y nos quedará:
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
v = 2 g R 0
E
0
obsérvese que cuanto mayor sea la altura sobre la Tierra (conforme crece r), es
menor la velocidad de escape, y que además es independiente de la masa del
proyectil.
La Fig. XI-16 nos representa la energía potencial gravitatoria
U(r) =–GmM /r para un proyectil lanzado desde un punto que se encuentra a
0
una distancia r del centro de la Tierra; para la superficie U(R ) =–GmM /R 0
0
0
=–mg R , aumentando a medida que aumenta r. Si el proyectil ha sido lanza-
0
0
do con una velocidad menor que la de escape, poseerá una energía total
E <0, por lo que se elevará hasta una distancia r , del centro de la Tierra y
1
1
volverá a caer sobre ella. Si el lanzamiento se realiza con una velocidad mayor
que la de escape entonces poseerá una energía total E >0 y como ya se ha
2
dicho no volverá a la Tierra.
PROBLEMAS:49 al 51. Fig. XI-16.– Para una energía total E £0 el proyectil se
encuentra “ligado” a la Tierra. Para E ³ 0 el proyectil
XI – 12. Ecuación de la trayectoria de una partícula bajo la acción “escapa” de la influencia gravitacional de la Tierra.
de una fuerza gravitatoria
Consideremos una partícula de masa m sometida a la tracción gravitatoria de una masa M,
que supondremos fija y de valor mucho mayor que m (Fig. XI-17).
Para obtener la ecuación de la trayectoria de m partimos de la segunda ley de Newton que es-
cribiremos empleando coordenadas polares, en las que las expresiones de la aceleración y la fuer-
za son, respectivamente:
.. . 2 .. . . Mm
a =(r -r j ) u +(r j + r j ) u F = -G u
2
r
j
r 2 r
Por consiguiente:
GMm .. 2 . .. . .
F =m a Þ - u =mr( -r j ) u +m r( j + r2 j ) u
r 2 r r j
.. . 2 GM .. . .
que puede descomponerse en: r - j = - r j +2 r j =0 (12)
r
r 2
Por otra parte, al tratarse de una fuerza central se conserva constante el momento angular de m,
2 .
2 .
es decir, J =r ´mv =cte; y su módulo es J = rmv = mr j , con lo que podremos poner: r j =
j
.
Jm Þ/ j= Jmr/ 2 , que pondremos de la forma:
. h
j = 2
r
donde se ha hecho J/m =h.
De esta ecuación y la primera de las anteriores, obtenemos la ecuación diferencial de la trayec-
toria en la forma r =f(j), mediante las siguientes expresiones:
d F I 1
. dr dr dj h dr h - G J
r = = = 2 = d H rK
dt dj dt r dj j Fig. XI-17.– Partícula de masa m so-
. . . h d L d F IO metida a la atracción gravitatoria de
2
1
.. dr dr dj h dr h - G JP h 2 d F I 1
rK
r = = = = M d H rK =- d H G J otra de masa M ? m que suponemos
2
2
dt dj dt r dj r dj N j Q r 2 j 2 fija.