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APLICACIÓN DEL TEOREMA DE GAUSS 241

Nótese que los valores de la divergencia de un campo vectorial nos dan las fuentes y sumide-
ros de dicho campo en cada punto. En el caso del campo gravitatorio tales sumideros (divergencia
negativa) son las propias masas.
El teorema de Gauss es un método cómodo para calcular campos gravitatorios en algunos ca-
sos determinados en los cuales se conozca algo de antemano de dicho campo, por ejemplo las lí-
neas de fuerza, o lo que es lo mismo la dirección y el sentido del vector g en cada punto. Con el
teorema de Gauss podemos calcular el módulo del campo fácilmente en estas condiciones. Cono-
cer de antemano las líneas de fuerza del campo es posible cuando la distribución de masa tenga
una simetría muy específica (esférica, cilíndrica o plana).
La ecuación que vamos a calcular (ECUACIÓN DE POISSON), nos da una forma de calcular V (P) y
conocida esta función determinar g (P) como decíamos en el párrafo XI-8. Su deducción es a par-
tir del teorema de Gauss y la relación entre el campo y el potencial:

g =-gradV Þ div gradV G
G
div g =-4pr = 4pr
2
conviene considerar la div grad como un solo operador y se representa por D o ÑÑ , con esta no-
tación escribiremos:
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
DV = 4p G r
Fig. XI-22.– La intensidad del cam-
y en coordenadas cartesianas: po gravitatorio en P, es la que produ-
ciría una masa puntual de valor igual
2
2
2
¶ V ¶ V ¶ V 4 pG r x y z(, , ) a la de la distribución esférica coloca-
¶x 2 + ¶y 2 + ¶z 2 = da en su centro.
PROBLEMAS: 58 y 59.
XI – 16. Cálculo de la intensidad del campo gravitatorio producido por una esfera
homogénea
Resolvamos como aplicación del Teorema de Gauss este caso particular. Si la distribución es
uniforme, la simetría de la distribución de masa es esférica. No existe ninguna dirección privilegia-
da, por consiguiente el campo tiene que ser necesariamente radial.
Vamos a calcular el campo a una distancia r del centro de la distribución. Tomaremos una su-
perficie de integración de acuerdo con la simetría de nuestro problema: una esfera de radio r
concéntrica con la distribución. El campo en P por ser radial será paralelo a r y también a dA. Cal-
culemos el flujo del campo a través de A.
a) EN UN PUNTO P EXTERIOR A LA DISTRIBUCIÓN (r >a).
zz z
f = A g ?? d A = gdA cos j = - gdA
A
A
como g sólo depende de r, y A es una esfera, es constante al integrar, luego:
z
f =-gdA =-g 4 pr 2
A
2
por otra parte: f =– 4pGM en la que M es la masa total, luego: g =GM/r , vectorialmente:
M
g =-G r
r 3

«La intensidad del campo gravitatorio que produce una distribución esférica y homogénesa
de masa en un punto exterior, es la que producirá una masa puntual colocada en el centro
de la distribución».

b) EN UN PUNTO P INTERIOR (r <a).
En este caso los argumentos de simetría son iguales. Para integrar, tomaremos una esfera A¢
de radio r que pasa por el punto P. Igual que antes g es paralelo a r y a dA, luego: Fig. XI-23.– La intensidad del cam-
z z po gravitatorio en P, es la que produ-
f = A g ?? d A = -g A dA = -g 4 pr 2 ciría una masa puntual M¢igual a la
que hay en el interior de la esfera de
radio la distancia del centro al punto
y por otra parte: f =– 4pGM¢donde M¢es la masa encerrada dentro de A¢(M¢< M), luego: considerado (r), colocada en dicho
2
g =GM¢/r ; se ha dicho que la esfera es homogénea luego su densidad r es constante y de valor: centro.